[論文レビュー] Ramond-Ramond fields and twisted differential K-theory

Daniel Grady, Hisham Sati|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 80被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、接続を伴うgerbeを介してラムンド＝ラムンド場を統合する、微分K理論におけるねじれ付き微分チャーン特徴写像を確立する。これは古典的チャーン特徴写像を微分的に refining するもので、Deligne-Beilinsonカップ積を用いたÂ-特性類の微分的修正を提供する。微分K理論から有理数値微分コホモロジーへの自然な準同型を構成し、元の状況と整合性を保つ。

ABSTRACT

We provide a systematic approach to describing the Ramond-Ramond (RR) fields as elements in twisted differential K-theory. This builds on a series of constructions by the authors on geometric and computational aspects of twisted differential K-theory, which to a large extent were originally motivated by this problem. In addition to providing a new conceptual framework and a mathematically solid setting, this allows us to uncover interesting and novel effects. Explicitly, we use our recently constructed Atiyah-Hirzebruch spectral sequence (AHSS) for twisted differential K-theory to characterize the RR fields and their quantization, which involves interesting interplay between geometric and topological data. We illustrate this with the examples of spheres, tori, and Calabi-Yau threefolds.

研究の動機と目的

• 微分K理論におけるねじれ付き微分チャーン特徴写像を定義し、ラムンド＝ラムンド場を統合する。
• 微分K理論から有理数値微分コホモロジーへの自然な準同型を構築し、古典的チャーン特徴写像を微分的に refining する。
• Pontrjagin類のDeligne-Beilinsonカップ積を用いて、Â-特性類の微分的修正を提供する。
• 局所的自明性を介して、ねじれ付き特徴写像と元の状況との整合性を確立する。
• 微分K理論におけるリーマン・ロッホ定理の基礎を築き、η形式による二次的項を含む。

提案手法

• ホモトピー下付きの普遍性を用いて、接続を伴うgerbeのスタック $\mathbf{B}^2U(1)_\nabla$ から微分K理論のねじれのスタック $\widehat{\rm Tw}(\widehat{\rm K})$ への写像を定義する。
• 微分環スペクトル上の $\infty$-グロテンディーク構成を用い、元の微分チャーン特徴写像 $\widehat{\rm ch}: \widehat{\rm K} \to \widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}]$ を利用して、ねじれ付き微分チャーン特徴写像を構成する。
• 精密化されたPontrjagin類のDeligne-Beilinsonカップ積 $\cup_{\rm DB}$ を用いて、Â-特性類の微分的修正を定義し、クラス $\hat{\mathbb{A}}(M;\nabla_g) \in \widehat{H}^*(M;\mathbb{Q}[u,u^{-1}])$ を得る。
• ねじれ付きK理論と有理数コホモロジーのねじれの間の整合性を保つために、写像 $j: \mathbf{B}^2\mathbb{R}/\mathbb{Q}_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}])$ を介した因数分解を確立する。
• 3形式曲率 $H \in \Omega^3_{\rm cl}(M)$ を用いて、$\Omega^3_{\rm cl}$, $\mathbf{B}^3\mathbb{Z}$, $\mathbf{B}^3\mathbb{R}$ を含むホモトピー下付き図式を用いてねじれを実現する。
• ホモトピー下付きの普遍性を適用し、基礎的な位相的ねじれ $h: M \to \mathbf{B}^3\mathbb{Z}$ から、写像 $i: \mathbf{B}^2U(1)_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{\rm K})$ を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラムンド＝ラムンド場を用いて、微分チャーン特徴写像をねじれ付き微分K理論へどのように拡張できるか？
• RQ2 接続を伴うgerbeから微分K理論のねじれのスタックへの自然な写像は何か？
• RQ3 Deligne-Beilinsonコホモロジーを用いて、微分的状況におけるÂ-特性類をどのように修正できるか？
• RQ4 二次的項、特に $\eta$-形式は、完全な微分的修正におけるリーマン・ロッホ定理の役割を果たすか？
• RQ5 ねじれ付き微分チャーン特徴写像は、局所的にどのように元の状況に還元されるか？

主な発見

• 接続を伴うgerbeが微分K理論のねじれとして実現される自然な準同型 $i: \mathbf{B}^2U(1)_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{\rm K})$ が構成された。
• ねじれ付き微分チャーン特徴写像 $\widehat{{\rm ch}}_{\hat{h}}$ は、スペクトル層のバンドル間の準同型として定義され、$\widehat{\rm K}_{\hat{h}} \to \widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}]_{\hat{h}}$ であり、局所的に元の微分チャーン特徴写像に還元される。
• 微分的修正されたÂ-特性類は $\hat{\mathbb{A}}(M;\nabla_g) = 1 - \frac{1}{24}\hat{p}_1 + \frac{1}{5760}(7\hat{p}_1^2 - 4\hat{p}_2) + \cdots$ で与えられ、積はDeligne-Beilinsonカップ積で定義される。
• 写像 $j: \mathbf{B}^2\mathbb{R}/\mathbb{Q}_\nabla \to \widehat{\rm Tw}(\widehat{H\mathbb{Q}}[u,u^{-1}])$ を介した因数分解により、ねじれ付きK理論と有理数コホモロジーのねじれの間の整合性が保証された。
• ねじれ付き特徴写像は、$\rm Spin^c$-多様体におけるねじれK理論のポincare双対性と整合する。これは、逆ねじれを含むホモトピー可換図式によって示された。
• 本稿では、特にタイプIIA超弦理論におけるDブレーン電荷の完全な微分的修正において、二次的$\eta$-形式を含める必要があると特定された。