[論文レビュー] Rank Two Bipartite Bound Entangled States Do Not Exist

Paweł Horodecki, John A. Smolin+2 more|ArXiv.org|Oct 29, 1999

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所操作と古典的通信（LOCC）を用いて最大にエンタングルされた状態に精錬できない、いわゆる束縛もつれ（bound entanglement）と呼ばれるもつれの形式をとらない、ランク2の双粒子量子状態が存在しないことを証明している。ランク制約と周辺ランク解析を用いて、著者たちは、いかなる束縛もつれ状態も、高々 n×n ヒルベルト空間上に支持される必要があることを確立し、その結果、ランク2のこのような状態は存在しないことが示され、量子情報理論における長年の未解決問題が解決された。

ABSTRACT

We explore the relation between the rank of a bipartite density matrix and the existence of bound entanglement. We show a relation between the rank, marginal ranks, and distillability of a mixed state and use this to prove that any rank n bound entangled state must have support on no more than an n imes n Hilbert space. A direct consequence of this result is that there are no bipartite bound entangled states of rank two. We also show that a separability condition in terms of a quantum entropy inequality is associated with the above results. We explore the idea of how many pure states are needed in a mixture to cancel the distillable entanglement of a Schmidt rank n pure state and provide a lower bound of n-1. We also prove that a mixture of a non-zero amount of any pure entangled state with a pure product state is distillable.

研究の動機と目的

• 低ランクの双粒子量子状態の構造的制約と、それらが束縛もつれを示す可能性を調査すること。
• 束縛もつれ状態がランク2で存在できるかどうかという未解決問題を解明すること。
• 密度行列のランク、その周辺ランク、およびもつれの精錬可能性との間の関係を確立すること。
• 双粒子系における束縛もつれに必要な最小ランクを理解する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 双粒子密度行列のランクとその縮約密度行列（周辺ランク）のランクとの関係を分析すること。
• ランクおよび周辺ランクの制約に基づいて、精錬可能性の必要条件を導出すること。
• 低ランク状態における分離可能性ともつれを特徴付けるために、量子エントロピー不等式を適用すること。
• 精錬不能な状態であると仮定した上で、ランク2の状態が束縛もつれを支持できないことを背理法で示すこと。
• 任意の束縛もつれ状態が、ランクnの状態に対して高々 n×n のヒルベルト空間上に支持される必要があることを証明すること。
• 純粋もつれ状態の非ゼロ量と混合状態を混合すると、常に精錬可能な状態が得られることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双粒子量子状態がランク2である場合、すなわちもつれではあるが精錬不能である場合、束縛もつれ状態となり得るか？
• RQ2 ランクnの束縛もつれ状態が存在するための最小ヒルベルト空間次元は何か？
• RQ3 密度行列のランクとその周辺ランクの関係が、もつれの精錬可能性にどのように制約を加えるか？
• RQ4 スレーマンランクnの純粋もつれ状態の精錬可能なもつれを相殺するために必要な純粋状態の数に、根本的な下限があるか？
• RQ5 非ゼロ量の純粋もつれ状態と混合状態の混合状態は、常に精錬可能であるか？

主な発見

• ランクと周辺ランクの制約から、双粒子束縛もつれ状態はランク2では存在しないことが証明された。
• ランクnの任意の束縛もつれ状態は、高々 n×n のヒルベルト空間上に支持される必要がある。
• グローバルランクと周辺ランクの相互作用から、精錬可能性の必要条件が導出された。
• スレーマンランクnの純粋もつれ状態の精錬可能なもつれを相殺するために必要な純粋状態の数は、少なくとも n−1 個以上である。
• 非ゼロ量の純粋もつれ状態と純粋混合状態の混合状態は、常に精錬可能である。
• 量子エントロピー不等式により、束縛もつれのランクに基づく制約と整合的な分離可能性の基準が得られた。