[論文レビュー] Sheaves of Higher Categories and Presentations of Smooth Field Theories

Severin Bunk|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$(\infty,n)$-圏値の高階層層が、一般化された前トポス構造を備えたカテゴリ $C$ からその自由なココミpletion $\hat{C}$ に拡張可能であり、その際に降下性（descent）を保つことを確立する。主な結果は、ヤオダ埋め込みに沿った$\infty$-カテゴリー的右カルタン拡張が、高階層層の条件を保存することであり、これにより微分可能空間上の滑らかベクトルバンドルや、完全な微分同相群構造を備えた滑らかボルディズム場理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

We study the extension of higher presheaves on a category $C$ to its free cocompletion $\hat{C}$. Here, higher presheaves take values in $\infty$-categories of $(\infty,n)$-categories, for any $n \in \mathbb{N}_0$. We first observe that any pretopology on $C$ induces a pretopology of generalised coverings on $\hat{C}$. Our main result is that the $\infty$-categorical right Kan extension along the Yoneda embedding $Y \colon C o \hat{C}$ preserves the descent property: given a pretopology on $C$, any higher sheaf on $C$ extends to a higher sheaf on $\hat{C}$ with the induced pretopology. Our proofs are performed using model categorical presentations of the relevant $\infty$-categories. We then present two applications of the main result in geometry and topology: first, we prove a descent property for smooth vector bundles on diffeological spaces. Diffeological spaces form a categorically well-behaved generalisation of manifolds, which includes many infinite-dimensional spaces. Our second application is to smooth bordism-type field theories on a manifold. Here, in contrast to TQFTs, diffeomorphism groups do not generally act through mapping class groups, and the smooth structure of diffeomorphism groups becomes relevant. We show how incorporating these data allows to construct smooth field theories on a manifold from generators and relations.

研究の動機と目的

• カテゴリ $C$ 上の高階層層をその自由なココミプレッション $\hat{C}$ に拡張し、層条件を保つこと。
• カテゴリ $C$ 上の前トポスから、ヤオダ埋め込みを介して $\hat{C}$ 上に一般化された被覆族の前トポスを定義すること。
• ヤオダ埋め込みに沿った$\infty$-カテゴリー的右カルタン拡張が、高階層層の降下性を保存することを確立すること。
• この結果を、無限次元例を含む多様体の一般化である微分可能空間上の滑らかベクトルバンドルに応用すること。
• マッピングクラス群ではなく、完全な微分同相群作用を組み込んだ多様体上の滑らか場理論を構成すること。

提案手法

• $(\infty,n)$-圏の$\infty$-圏を扱うために、モデル圏的表現を用いること。
• ヤオダ埋め込みを介して、$C$ 上の前トポスから $\hat{C}$ 上の一般化被覆族の前トポスを構成すること。
• ヤオダ埋め込み $Y: C \to \hat{C}$ に沿った$\infty$-カテゴリー的右カルタン拡張を適用すること。
• この拡張が高階層層の降下条件を保存することを証明すること。
• ココミプレッションの普遍性を用いて、$C$ から $\hat{C}$ への層構造の持ち上げを実現すること。
• 一般結果を具体的な幾何的設定（微分可能空間および滑らかボルディズム場理論）に適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリ $C$ 上の高階層層は、その自由なココミプレッション $\hat{C}$ に拡張可能であり、層条件を保つことができるか？
• RQ2 カテゴリ $C$ 上の前トポスは、ヤオダ埋め込みを介して $\hat{C}$ 上にどのように前トポスを誘導するか？
• RQ3 ヤオダ埋め込みに沿った$\infty$-カテゴリー的右カルタン拡張は、高階層層の降下性を保存するか？
• RQ4 この拡張機構を用いて、完全な微分同相群構造を尊重する多様体上の滑らか場理論を構成可能か？
• RQ5 この枠組みは、微分可能空間上の滑らかベクトルバンドルの降下性を支持するか？

主な発見

• ヤオダ埋め込みに沿った$\infty$-カテゴリー的右カルタン拡張は、$\hat{C}$ 上に誘導された前トポス構造を備えた場合、高階層層の降下性を保存する。
• $C$ 上の前トポスから、$\hat{C}$ 上に整合的な一般化被覆族の前トポスが自然に誘導され、ココミプレッション上での層論が可能になる。
• この枠組みにより、マッピングクラス群ではなく完全な滑らか微分同相群の構造を組み込んだ多様体上の滑らか場理論を構成可能である。
• 微分可能空間上の滑らかベクトルバンドルについても降下性が成立し、多様体上の古典的理論が一般化される。
• この方法により、ココミプレッション構造を用いて生成子と関係式による滑らか場理論の体系的提示が可能になる。
• 結果はモデル圏的技法を用いて確立されており、$\infty$-カテゴリー的設定において堅牢性が保証されている。