[論文レビュー] The 2-Chu-Dialectica construction and the polycategory of multivariable adjunctions

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、多圏における一般化された「Chu-Dialectica」構成を用いて、2-圏的枠組みを統一的に提示する。これは古典的 Chu 構成と Dialectica 構成の両方を包含する。多変数随伴関手が多圏をなすことを示し、2-Chu-Dialectica 構成が自然にそれらの双対性と巡回的構造を捉えることができ、高階圏論における $\natural$-自己双対的および $\natural$-双対可能な構造の標準的設定を提供する。

ABSTRACT

Cheng, Gurski, and Riehl constructed a cyclic double multicategory of multivariable adjunctions. We show that the same information is carried by a double polycategory, in which opposite categories are polycategorical duals. Moreover, this double polycategory is a full substructure of a double Chu construction, whose objects are a sort of polarized category, and which is a natural home for 2-categorical dualities. We obtain the double Chu construction using a general "Chu-Dialectica" construction on polycategories, which includes both the Chu construction and the categorical Dialectica construction of de Paiva. The Chu and Dialectica constructions each impose additional hypotheses making the resulting polycategory representable (hence *-autonomous), but for different reasons; this leads to their apparent differences.

研究の動機と目的

• Dialectica および Chu 構成を、共通の多圏的枠組みの下で統一すること。
• 多変数随伴関手の多圏が、Chu 構成の2-圏的一般化から自然に生じることを示すこと。
• 2-Chu-Dialectica 構成が、2-圏的双対性および $\natural$-自己双対的構造の自然な場を提供することを示すこと。
• Dialectica と Chu 構成の構造的差異を、多圏における異なる表現可能性条件から明らかにすること。

提案手法

• 多圏における一般化された「Chu-Dialectica」構成を導入し、これにより古典的 Chu 構成と Dialectica 構成の両方を拡張する。
• 2-Chu-Dialectica 構成を、双対を持つ極性付き圏を対象とする多重双圏として定義する。
• 対称モノイダル圏に双対化対象を備えたものを使って、2-Chu-Dialectica を双 Chu 構成の完全部分構造として構成する。
• 多圏における普遍性を用いて、得られた構造におけるテンソル積と双対性を特徴付ける。
• 得られた多変数随伴関手の多圏が、自然に巡回的かつ対称的であり、ホム集合に整合性のある対合および巡回的作用を持つことを示す。
• 表現可能性を介して $\natural$-自己双対的構造が得られることを確立し、Dialectica 場合と Chu 場合で、表現可能性の理由が異なることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dialectica および Chu 構成を、1つの多圏的枠組みに統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 2-Chu-Dialectica 構成におけるテンソル積の背後にある普遍的性質は何か？
• RQ3 2-Chu-Dialectica 構成は、多変数随伴関手の双対性と巡回的構造をどのように捉えているか？
• RQ4 なぜ Dialectica と Chu 構成は、異なる表現可能性メカニズムを通じて $\natural$-自己双対的圏を生成するのか？
• RQ5 極性付き圏は、2-圏的双対性の自然な設定として、2-Chu-Dialectica 構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 2-Chu-Dialectica 構成は、多変数随伴関手の構造を完全に捉える多重重双圏を提供する。特に、その巡回的および双対化性の性質を含む。
• この構成は、Dialectica および Chu 構成を、1つの多圏的枠組み内での特別なケースとして一般化する。
• 得られた多変数随伴関手の多圏は、自然に巡回的かつ対称的であり、ホムセットに整合性のある対合および巡回的作用を持つ。
• Dialectica と Chu 構成は、表現可能性の理由が異なる：Dialectica は内部ホムによって、Chu は引き戻しと随伴関手によってであるが、両者とも $\natural$-自己双対的構造を生成する。
• 2-Chu-Dialectica 構成は、双 Chu 構成の完全部分構造であり、2-圏的双対性の自然な場として機能する。
• この構成により、2-Chu-Dialectica 圏におけるテンソル積が、ある可換図式に符号化された3つの射の組に一致することが明らかになる。