[論文レビュー] The Cohomological Crepant Resolution Conjecture for the Hilbert-Chow morphisms

Wei-Ping Li, Zhenbo Qin|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、任意の単連結な滑らかで射影的な曲面 $X$ に対して、量子補正付きコホモロジー環 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ が、軌道コホモロジー環 $H^{*}_{\rm CR}(X^{(n)})$ に同型であることを確立することで、Ruanの同調的クリープント解消予想を Hilbert-Chow 準同型 $ ho_n: X^{[n]} \to X^{(n)}$ に対して証明する。証明は、ヘイゼンベルク代数作用を介した頂点演算子技法と、共通局在化およびインデックス技法を含む高度なグロモフ＝ウィッテン理論を組み合わせ、一般の場合を既に検証済みのトーリック曲面の結果に還元する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that Ruan's Cohomological Crepant Resolution Conjecture holds for the Hilbert-Chow morphisms. There are two main ideas in the proof. The first one is to use the representation theoretic approach proposed in [QW] which involves vertex operator techniques. The second is to prove certain universality structures about the 3-pointed genus-0 extremal Gromov-Witten invariants of the Hilbert schemes by using the indexing techniques from [LiJ], the product formula from [Beh2] and the co-section localization from [KL1, KL2, LL]. We then reduce Ruan's Conjecture from the case of an arbitrary surface to the case of smooth projective toric surfaces which has already been proved in [Che].

研究の動機と目的

• 任意の単連結な滑らかで射影的な曲面 $X$ に対して、Hilbert-Chow 準同型 $\rho_n: X^{[n]} \to X^{(n)}$ における同調的クリープント解消予想を確立すること。
• $n=2,3$、$K_X$ が自明、またはトーリック曲面などの既知のケースを超えて、予想の有効性を拡張すること。
• 表現論的およびグロモフ＝ウィッテン理論的手段を用いて、Hilbertスキームの量子コホモロジーと対称積の軌道コホモロジーを統一すること。

提案手法

• $A = A^{[1]}$ により生成されるヘイゼンベルク代数のフォック空間として、$H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ および $H^{*}_{\rm CR}(X^{(n)})$ のコホモロジー環をモデル化する [QW] の表現論的枠組みを用いる。
• 頂点演算子技法とヘイゼンベルク代数作用の公理的構造を用い、$\widetilde{\mathfrak{G}}_k(\alpha)$ と $\mathfrak{a}_{-1}(\beta)$ を含む関係式 (1.1) および (1.2) を用いて、$A^{[n]}$ における代数的積を定義する。
• LiJ からのインデックス技法、Beh2 の積公式、および KL1, KL2, LL からの共通局在化を適用し、$X^{[n]}$ の3点付き genus-0 極値グロモフ＝ウィッテン不変量を分析する。
• 安定写像の分解と仮想基本サイクルを用いて寄与項を分析することで、関係式 (1.2) が任意の曲面において成り立つことを証明する。
• グロモフ＝ウィッテン不変量の普遍性を用いて、一般の場合を、既に [Che] で検証済みの滑らかで射影的なトーリック曲面のケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ が任意の単連結な滑らかで射影的な曲面である場合、Ruanの同調的クリープント解消予想は Hilbert-Chow 準同型 $\rho_n: X^{[n]} \to X^{(n)}$ に対して成立するか？
• RQ2 量子補正付きコホモロジー環 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ の代数的構造は、ヘイゼンベルク代数作用および関係式 (1.1) と (1.2) によって完全に特定可能か？
• RQ3 $X^{[n]}$ の3点付き genus-0 極値グロモフ＝ウィッテン不変量は、$\langle K_X, K_X \rangle$ および他の位相的不変量の普遍多項式として表現可能であり、トーリックケースへの還元を可能にするか？
• RQ4 共通局在化および仮想サイクル技法は、非自明な軌道特異点を有する状況下でも、グロモフ＝ウィッテン不変量をどの程度制御可能にするか？

主な発見

• 任意の単連結な滑らかで射影的な曲面 $X$ に対して、量子補正付きコホモロジー環 $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ は、軌道コホモロジー環 $H^{*}_{\rm CR}(X^{(n)})$ に同型であり、Ruanの予想が完全に一般化された形で確認された。
• $H^{*}_{\rho_n}(X^{[n]})$ の代数的構造は、[QW] の公理 (A1) および (A2) を満たし、特に $\widetilde{\mathfrak{G}}_k(\alpha)$ と $\mathfrak{a}_{-1}(\beta)$ の間の重要な関係式 (1.2) でさえ、非トーリック曲面に対しても成立する。
• $X^{[n]}$ の3点付き genus-0 極値グロモフ＝ウィッテン不変量は、$\langle K_X, K_X \rangle$ の有界次数の普遍多項式として示され、係数が $(u_1', u_2)$ の型を取るため、トーリックケースへの還元が可能である。
• グロモフ＝ウィッテン生成関数における各項の寄与が、$\langle K_X, K_X \rangle$ の多項式として普遍的に表現可能であり、次数は $n/2$ または $(n+1)/2$ 以下（場合による）であることが証明された。
• シンプレクティック変換に関する不変性とグロモフ＝ウィッテン不変量の普遍性を用いて、予想を既知の滑らかで射影的なトーリック曲面のケースに還元し、証明を完了した。