[論文レビュー] Tulczyjew's triples and lagrangian submanifolds in classical field theories

Manuel de León, David Martı́n de Diego+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、多シンプレクティック幾何学を用いて、Tulczyjewの古典的力学のシンプレクティック枠組みを古典場理論へ拡張する。ジャット延長と多シンプレクティック形式を用いて、場理論における一般化されたTulczyjew三重対を導入し、Euler–Lagrange方程式とHamilton–de Donder方程式が、多シンプレクティック多様体内の(n+1)次元ラグランジュ部分多様体を定義する局所的方程式として生じることを示し、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化を幾何学的枠組みで統一する。

ABSTRACT

In this paper the notion of Tulczyjew's triples in classical mechanics is extended to classical field theories, using the so-called multisymplectic formalism, and a convenient notion of lagrangian submanifold in multisymplectic geometry. Accordingly, the dynamical equations are interpreted as the local equations defining these lagrangian submanifolds.

研究の動機と目的

• 古典的力学におけるTulczyjewのシンプレクティック枠組みを古典場理論へ一般化すること。
• ジャット延長と多シンプレクティック幾何学を用いて、古典場理論の幾何的定式化を構築すること。
• Euler–Lagrange方程式とHamilton–de Donder方程式を、多シンプレクティック設定におけるラグランジュ部分多様体を定義するものとして解釈すること。
• 場理論における一般化されたTulczyjew三重対を通じて、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の対応関係を確立すること。

提案手法

• 古典力学の正準シンプレクティック構造を場理論へ一般化する多シンプレクティック形式を用いる。
• 1次ジャットバンドルZ上のラグランジアン密度Lηから、Poincaré–Cartan (n+1)形式Ω_Lを構成する。
• ジャット延長と発散同値による商を用いて、自己微分同相α̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Zおよびβ̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z*を定義する。
• Λⁿ⁺¹₂Z*上の正準形式の引き戻しを用いて、J̃¹Z*に多シンプレクティック構造を導入し、多シンプレクティック多様体(J̃¹Z*, Ω_β)を構成する。
• De Donder方程式および場の運動方程式の解を、この多シンプレクティック空間内の(n+1)次元ラグランジュ部分多様体として表現する。
• Legendre変換と恒等式Ω_α = Ω_βを通じて、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的力学におけるTulczyjew三重対の構成を、古典場理論へどのように拡張できるか。
• RQ2 力学におけるシンプレクティック構造と類似する方法で、場の運動を記述する適切な多シンプレクティック幾何学的構造は何か。
• RQ3 Euler–Lagrange方程式とHamilton–de Donder方程式は、多シンプレクティック枠組みにおいて、どのようにラグランジュ部分多様体を定義する方程式として現れるか。
• RQ4 ジャット延長と発散同値による商を用いることで、一貫性のある場理論的Tulczyjew三重対を構築する際の役割は何か。
• RQ5 この幾何学的枠組みにおいて、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化はどのように関係しているか。

主な発見

• 古典場理論の運動方程式は、一般化されたTulczyjew三重対を用いて構成された多シンプレクティック多様体内の(n+1)次元ラグランジュ部分多様体の局所的定義方程式として幾何学的に符号化されている。
• De Donder方程式および場の運動方程式が、水平切断の像が射影写像を通じて(J̃¹Z*, Ω_β)内のラグランジュ部分多様体上にあるという条件と等価であることが示された。
• 正準微分同相β̃: J̃¹Z* → Λⁿ⁺¹₂Z*は、場の運動方程式の解をΛⁿ⁺¹₂Z*のゼロ切断に写像する。これは、ラグランジュ部分多様体構造を確認するものである。
• J̃¹Z*上の多シンプレクティック形式Ω_αとΩ_βが等しいことが示され、ラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化の幾何学的統一が確立された。
• Legendre変換によりラグランジュ的およびハミルトニアン的定式化が接続され、正則性のもとでは対応するラグランジュ部分多様体N_LとN_hが一致することが示された。