[論文レビュー] Value Indefiniteness Is Almost Everywhere

AA Abbott, CS Calude+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Quantum Mechanics and Applications被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所的非文脈性の仮定の下で、量子力学における値不定性が孤立した事例に限られるのではなく、ヒルベルト空間のほとんど至る所で生じることを示している。1つの観測量を値確定と固定すると、理論は他のすべての観測量がレベーグ測度1で値不定であることを示唆し、量子の不確定性がグローバルな性質であることを確立する。

ABSTRACT

Kochen-Specker theorems assure the breakdown of certain types of non-contextual hidden variable theories through the non-existence of global, holistic frame functions; alas they do not allow us to identify where this breakdown occurs, nor the extent of it. Here we show that this breakdown is maximal in that it occurs almost everywhere, and thus prove that quantum indeterminacy—often referred to as contextuality or value indefiniteness—is a global property as is often assumed. In contrast to the Kochen-Specker theorem, we only assume the weaker non-contextuality condition that any potential value assignments that may exist are locally non-contextual. Under this assumption, we prove that once a single arbitrary observable is fixed to be value definite, almost (i.e. with Lebesgue measure one) all remaining observables are indeterminate.

研究の動機と目的

• カクエン＝スプライッター定理の範囲を超えて、量子系における値不定性の広がりと分布を調査すること。
• 値不定性が局所的であるのか、それとも観測量の空間全体に広がっているのかを特定すること。
• 局所的非文脈性の下で、1つの観測量を値確定と固定すると、他のほとんどすべての観測量が値不定になることを確立すること。
• 量子不確定性のグローバルな性質を明確にし、文脈性が特定の構成に限定されているという仮定に反すること。

提案手法

• 局所的非文脈性を仮定：観測量への値割り当ては局所的文脈内では一貫しているが、必ずしもグローバルには一貫しない。
• フレーム関数を用いて、任意の1つの観測量を値確定とすることを固定する。
• ヒルベルト空間上で測度論的解析を適用し、値確定観測量の集合のレベーグ測度を評価する。
• カクエン＝スプライッターで示されたように、グローバルなフレーム関数の非存在を基盤として、値不定性の測度論的結果を導出する。
• 局所的非文脈性の仮定の下で、値確定観測量の集合の測度がゼロであることを示し、ほとんどすべての観測量が値不定であることを示す。
• 量子論理と正規直交モジュラー格子の構造を活用して、局所的からグローバルな一貫性への移行を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的非文脈性の仮定のみの下で、量子系における値不定性はどの程度広がっているか？
• RQ2 1つの観測量を値確定と固定した後、ヒルベルト空間における値確定観測量の測度論的広がりは何か？
• RQ3 非文脈的隠れ変数理論の破綻は、特定の構成に限定されているのか、それとも広範にわたるのか？
• RQ4 カクエン＝スプライッター定理の仮定よりも弱い仮定の下で、量子不確定性のグローバル性を厳密に確立できるか？
• RQ5 値不定性は、量子力学の一般的な特徴であり、まれな例外ではないのか？

主な発見

• 1つの観測量を値確定と固定すると、一貫して値を割り当てられる他のすべての観測量の集合は、レベーグ測度がゼロである。
• 残りの観測量——ほとんどすべてのもの——は値不定であるため、値不定性は量子状態空間において一般的である。
• この結果は、カクエン＝スプライッター定理で仮定されるグローバル非文脈性よりも弱い局所的非文脈性の仮定の下でも成り立つ。
• 非文脈的隠れ変数理論の破綻は、特定の構成に限定されておらず、ヒルベルト空間のほとんど至る所で生じる。
• これは、量子不確定性がグローバルな性質であることを確認しており、文脈性が量子力学の根本的特徴であるという広く信じられている考えと整合的である。
• 測度論的結論は、値確定割り当てが、すべての可能な量子観測量の空間において例外的であり、一般的ではないことを示唆している。