[논문 리뷰] Macroscopic Lattice Boltzmann Method (MacLAB)

Jian Zhou|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 05.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 충돌 단계를 제거하고 유일한 기본 매개변수로 격자 크기 $\delta x$만을 사용하는 표준 라티스 보르츠만 방법(LBM)의 재구성인 매크로스코픽 라티스 보르츠만 방법(MacLAB)을 소개한다. 입자 속도 $e = \delta x / \delta t$를 통해 점성을 내장함으로써 무조건적 안정성, 메모리 사용 감소, 그리고 매크로스코픽 경계 조건의 직접 적용을 달성하며, 캐비티 및 테일러-그린 소용루 흐름을 포함한 2D 및 3D 벤치마크에서 점성 및 비점성 유동의 정확한 시뮬레이션을 보여준다.

ABSTRACT

The birth of the lattice Boltzmann method (LBM) fulfils a dream that simple arithmetic calculations can simulate complex fluid flows without solving complicated partial differential flow equations. Its power and potential of resolving more and more challenging physical problems have been and are being demonstrated in science and engineering covering a wide range of disciplines such as physics, chemistry, biology, material science and image analysis. The method is a highly simplified model for fluid flows using a few limited fictitious particles that move one grid at a constant time interval and collide each other at a grid point on uniform lattices, which are the two routine steps for implementation of the method to simulate fluid flows. As such, a real complex particle dynamics is approximated as a regular particle model using three parameters of lattice size, particle speed and collision operator. A fundamental question is "Are the two steps integral to the method or can the three parameters be reduced to one for a minimal lattice Boltzmann method?". Here, I show that the collision step can be removed and the standard LBM can be reformulated into a simple macroscopic lattice Boltzmann method (MacLAB). This model relies on macroscopic physical variables only and is completely defined by one basic parameter of lattice size dx, bringing the LBM into a precise "Lattice" Boltzmann method. The viscous effect on flows is naturally embedded through the particle speed, making it an ideal automatic simulator for fluid flows. The findings have been demonstrated and confirmed with numerical tests including flows that are independent of and dependent on fluid viscosity, 2D and 3D cavity flows, and an unsteady Taylor-Green vortex flow. This provides an efficient and powerful model for resolving physical problems in various disciplines of science and engineering.

연구 동기 및 목표

• 라티스 보르츠만 방법에서 충돌 단계를 제거함으로써 정확성이나 안정성을 손상시키지 않고도 가능할지 조사한다.
• 매크로스코픽 물리 변수와 유일한 매개변수인 격자 크기 $\delta x$에 기반한 최소한의 LBM 형식을 개발한다.
• 무조건적 안정성, 메모리 사용 감소, 매크로스코픽 경계 조건의 직접 구현을 달성한다.
• 점성 및 비점성 흐름에 대해 2D 및 3D 구성에서 방법을 검증한다.

제안 방법

• 충돌 단계를 제거하고 입자 속도 $e = \delta x / \delta t$로만 구성된 스트리밍 단계를 유지함으로써 표준 LBM을 재구성한다.
• 충돌 연산자 필요 없이 균형 분포 $f_{\alpha}^{eq}$만을 사용하여 입자 분포 함수를 정의한다.
• 입자 속도 $e$를 통해 점성을 자연스럽게 내장함으로써 $\nu = \frac{1}{6}(2\tau - 1)e\delta x$를 격자 역학에 암묵적으로 포함시킨다.
• 표준 D2Q9 및 D3Q19 격자 구조를 사용하지만, 회복 시간 $\tau$와 충돌 행렬 $\Omega_{\alpha\beta}$를 제거한다.
• Chapman-Enskog 분석을 통해 유도된 방법이 두 번째 차수 정확도로 라우지에르-나비에 방정식을 복원함을 확인한다.
• 밀도 $\rho$, 속도 $u_i$와 같은 매크로스코픽 변수를 직접 경계 조건으로 사용하여 구현을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충돌 단계를 제거함으로써 유일한 매개변수인 격자 크기 $\delta x$만을 사용하는 단일 매개변수 모델로 라티스 보르츠만 방법을 단순화할 수 있는가?
• RQ2 격자 크기 $\delta x$만을 기반으로 하는 충돌 없는 LBM이 여전히 라우지에르-나비에 방정식을 정확히 복원하는가?
• RQ3 이러한 방법이 표준 LBM에 비해 무조건적 안정성과 메모리 사용 감소를 달성할 수 있는가?
• RQ4 2D 및 3D 구성에서 벤치마크 점성 및 비점성 흐름 문제에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 분포 함수 재구성 없이 매크로스코픽 경계 조건을 직접 적용할 수 있는가?

주요 결과

• MacLAB 모델은 Chapman-Enskog 분석을 통해 두 번째 차수 정확도로 라우지에르-나비에 방정식을 성공적으로 복원함으로써 이론적 타당성을 확인한다.
• 무조건적 안정성을 달성하여 단일 회복 시간 LBM에서 흔히 발생하는 수치적 불안정성 문제를 제거한다.
• 충돌 단계와 관련된 분포 함수 저장소가 더 이상 필요 없기 때문에 메모리 사용이 크게 감소한다.
• 밀도 및 속도와 같은 매크로스코픽 변수를 직접 사용하여 경계 조건을 적용할 수 있어 구현이 간소화된다.
• 수치적 시험을 통해 점성 및 비점성 경우 모두 2D 및 3D 캐비티 흐름, 그리고 비정상적인 테일러-그린 소용루 흐름을 정확하게 시뮬레이션함을 확인한다.
• 입자 속도 $e = \delta x / \delta t$가 점성을 암묵적으로 포함하고 있어 $\nu = \frac{1}{6}(2\tau - 1)e\delta x$가 격자 구조의 자연스러운 결과가 된다.