[論文レビュー] A-infinity functors and homotopy theory of dg-categories

Giovanni Faonte|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Töenが右擬代表的双モジュラーを用いて定義したdgカテゴリの導来豊かみが、A∞-ファンクターのdgカテゴリと同型であることを証明し、Kontsevichの予想を裏付ける。さらに、A∞-ネERVEを用いてdgカテゴリおよびA∞カテゴリの(∞,2)-カテゴリを構成し、dgカテゴリ(∞,2)-カテゴリの(∞,1)-カテゴリ切断が、Tabuadaのモデル構造のDwyer-Kan局域化をモデル化することを示す。

ABSTRACT

In this paper we prove that Toen's derived enrichment of the model category of dg-categories defined by Tabuada, is computed by the dg-category of A-infinity functors. This approach was suggested by Kontsevich. We further put this construction into the framework of (infinity,2)-categories. Namely, we enhance the categories of dg and A-infinity categories, to (infinity,2)-categories. We prove that the (infinity,1)-truncation of to the (infinity,2)-category of dg-categories is a model for the simplicial localization at the model structure of Tabuada. As an application, we prove that the homotopy groups of the mapping space of endomorphisms at the identity functor in the (infinity,2)-category of A-infinity categories compute the Hochschild cohomology.

研究の動機と目的

• Töenのdgカテゴリにおける導来豊かみが、A∞-ファンクターのdgカテゴリと同型であることを証明し、Kontsevichの予想を確認する。
• A∞-ネERVE構成を用いてdgカテゴリおよびA∞カテゴリの(∞,2)-カテゴリを定義する。
• dgカテゴリ(∞,2)-カテゴリの(∞,1)-カテゴリ切断が、dgカテゴリ上のTabuadaのモデル構造のDwyer-Kan局域化をモデル化することを示す。
• A∞カテゴリ(∞,2)-カテゴリにおける自己射空間のホモトピー群が、Hochschildコホモロジーを計算することを確立する。
• Quillen同値とバーバルコンストラクションを用いてdg双モジュラーとA∞双モジュラーを関連づけ、モデル間のホモトピー的ブリッジを提供する。

提案手法

• 文献[4]のA∞-ネERVE構成を用い、dgCatおよびA∞Catを(∞,2)-カテゴリに拡張する。
• dgCat_{(∞,2)}を、A∞(C,D)のA∞-ネERVEによって与えられる射空間を持つ、A∞Cat_{(∞,2)}のdgカテゴリのフル部分カテゴリとして定義する。
• dgカテゴリにバーバルコンストラクションを適用し、dgココモジュラーを導出し、コホモロジー的道具を用いることを可能にする。
• アサイクルなねじれたチェインを介して、dg双モジュラーとA∞双モジュラーの間のQuillen同値を確立し、局域化上での同値を誘導する。
• バーバルコンストラクションとコホモロジー的解消を用いて、A∞-ファンクターのdgカテゴリと導来射空間カテゴリの間に自然同型を構成する。
• Tabuadaのモデル構造のDwyer-Kan局域化を用い、弱ホモトピー同値な射空間を介して(∞,1)-カテゴリ切断と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Töenのdgカテゴリにおける導来豊かみは、A∞-ファンクターのdgカテゴリと同型か？
• RQ2 A∞-ファンクターカテゴリのA∞-ネERVEを用いて、A∞カテゴリの(∞,2)-カテゴリを構成できるか？
• RQ3 dgカテゴリ(∞,2)-カテゴリの(∞,1)-カテゴリ切断は、Tabuadaのモデル構造のDwyer-Kan局域化をモデル化するか？
• RQ4 A∞カテゴリ(∞,2)-カテゴリにおける自己射空間のホモトピー群は、Hochschildコホモロジーを計算するか？
• RQ5 バーバルコンストラクションと導来豊かみを尊重するdg双モジュラーとA∞双モジュラーの間のQuillen同値は存在するか？

主な発見

• Töenが定義したdgカテゴリの導来豊かみは、自然にA∞-ファンクターのdgカテゴリと同型である：Ho(dgCat)において RHom(D,E) ≅ A∞(D,E)。
• A∞-ネERVEによるA∞(C,D)の構成を用いて、(∞,2)-カテゴリ dgCat_{(∞,2)} が構成され、射空間は N_{A∞}(A∞(C,D)) で与えられる。
• (∞,1)-カテゴリ dgCat_{(∞,1)} = dgCat_{(∞,2)}^∘ は、Tabuadaのモデル構造のDwyer-Kan局域化のモデルであり、射空間間の弱ホモトピー同値がある。
• A∞Cat_{(∞,2)}における恒等ファンクターにおける自己射空間のホモトピー群は、Hochschildコホモロジーを計算する。
• dg双モジュラーとA∞双モジュラーのモデルカテゴリ間に、バーバルコンストラクションとアサイクルなねじれたチェインを介したQuillen同値が存在する。
• バーバルコンストラクションにより、dgカテゴリ D,E に対して、dgカテゴリの同型 B(D,E): C∞(D,E) ≅ CoMod(B+(D), B+(E)) が誘導され、双モジュラーのモデル間のホモトピー的ブリッジを提供する。