[論文レビュー] A mathematical theory of D-string world-sheet instantons, I: Compactness of the stack of $Z$-semistable Fourier-Mukai transforms from a compact family of nodal curves to a projective Calabi-Yau 3-fold

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元1、幅$[0]$の変換に対して、$Z$-半安定なフーリエ＝ムカイ変換のモジュライスタックのコンパクト性を、次元1、幅$[0]$の変換におけるねじれ中心的荷重$Z$を用いて確立する。主な結果は、固定されたねじれ中心的荷重$c$に対して、スタック$\mathcal{FM}^{1,[0];Z\text{-}ss}_{C_{\mathcal{M}}/\mathcal{M}}(Y,c)$がコンパクトであることを示し、Dスティン世界面インスタントン理論における安定性に基づく構成を可能にする。

ABSTRACT

In a suitable regime of superstring theory, D-branes in a Calabi-Yau space and their most fundamental behaviors can be nicely described mathematically through morphisms from Azumaya spaces with a fundamental module to that Calabi-Yau space. In the earlier work [L-L-S-Y] (D(2): arXiv:0809.2121 [math.AG], with Si Li and Ruifang Song) from the project, we explored this notion for the case of D1-branes (i.e. D-strings) and laid down some basic ingredients toward understanding the notion of D-string world-sheet instantons in this context. In this continuation, D(10), of D(2), we move on to construct a moduli stack of semistable morphisms from Azumaya nodal curves with a fundamental module to a projective Calabi-Yau 3-fold $Y$. In this Part I of the note, D(10.1), we define the notion of twisted central charge $Z$ for Fourier-Mukai transforms of dimension 1 and width [0] from nodal curves and the associated stability condition on such transforms and prove that for a given compact stack of nodal curves $C_{\cal M}/{\cal M}$, the stack $FM^{1,[0];Zss}_{C_{\cal M}/{\cal M}}(Y,c)$ of $Z$-semistable Fourier-Mukai transforms of dimension 1 and width [0] from nodal curves in the family $C_{\cal M}/{\cal M}$ to $Y$ of fixed twisted central charge $c$ is compact. For the application in the sequel D(10.2), $C_{\cal M}/{\cal M}$ will contain $C_{\bar{\cal M}_g}/\bar{\cal M}_g$ as a substack and $FM^{1,[0];Zss}_{C_{\cal M}/{\cal M}}(Y,c)$ in this case will play a key role in defining stability condition for morphisms from arbitrary Azumaya nodal curves (with the underlying nodal curves not necessary in the family $C_{\cal M}/{\cal M}$) to $Y$.

研究の動機と目的

• アズマヤのノード曲線とその基本的モジュールを有する射から、射影的カルラヤ3次元多様体$Y$への半安定なモルフィズムのモジュライスタックを構成すること。
• ノード曲線から$Y$への次元1、幅$[0]$のフーリエ＝ムカイ変換に対して、ねじれ中心的荷重$Z$を定義すること。
• このような変換のための$Z$-半安定性に基づく安定性条件を確立すること。
• 固定されたねじれ中心的荷重$c$に対して、モジュライスタック$\mathcal{FM}^{1,[0];Z\text{-}ss}_{C_{\mathcal{M}}/\mathcal{M}}(Y,c)$のコンパクト性を証明すること。
• 今後の中間的作業において、任意のアズマヤのノード曲線から$Y$へのモルフィズムの安定性を定義するための基礎的枠組みを構築すること。

提案手法

• ノード曲線$C_k$を用いて、$C_k \times Y$上の連続層の導来圏にねじれ中心的荷重$Z^{B+\sqrt{-1}J,L}$を導入する。
• 中心的荷重$Z$と勾配関数$\mu^Z$を用いて、次元1、幅$[0]$のフーリエ＝ムカイ変換の$Z$-半安定性を定義する。
• 連続層$\tilde{\mathcal{F}}^i_k$におけるフィルトレーションの議論を用いて、不安定化列を分析し、中心的荷重とサイクル類の不変性を導出する。
• 局所平坦性基準を適用して、Quotスキーム写像$\pi_R$が全射であることを示し、体拡張上での不安定化商の存在を示唆する。
• 体拡張$K'$が不安定化商をもたらすことを示し、初期の$Z$-半安定性仮定に反するため、$Z$-半安定性に矛盾を引き起こす。
• 与えられた安定性条件の下で、モジュライスタックの完全性からコンパクト性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたねじれ中心的荷重$c$に対して、ノード曲線のコンパクト族からカルラヤ3次元多様体への$Z$-半安定フーリエ＝ムカイ変換のモジュライスタックはコンパクトか？
• RQ2 ノード曲線から$Y$への次元1、幅$[0]$のフーリエ＝ムカイ変換に対して、ねじれ中心的荷重$Z$はどのように定義できるか？
• RQ3 このような$Z$-半安定変換のスタックが完全かつコンパクトであるための条件は何か？
• RQ4 連続層の包含系列におけるサイクル類と中心的荷重の不変性は、コンパクト性の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 Quotスキームにおける体拡張を通じて、半安定性の失敗を検出でき、矛盾を引き起こすか？

主な発見

• 固定されたねじれ中心的荷重$c$に対して、ノード曲線のコンパクト族から射影的カルラヤ3次元多様体$Y$への$Z$-半安定フーリエ＝ムカイ変換のモジュライスタック$\mathcal{FM}^{1,[0];Z\text{-}ss}_{C_{\mathcal{M}}/\mathcal{M}}(Y,c)$はコンパクトである。
• ねじれ中心的荷重$Z^{B+\sqrt{-1}J,L}$は$C_k \times Y$の導来圏に定義され、次元1、幅$[0]$の変換のための安定性条件を可能にする。
• 中心的荷重は連続層$\tilde{\mathcal{G}}^i$の包含系列に沿って一定であり、$\tilde{\beta}(\tilde{\mathcal{G}}^i)$のサイクル類は十分大きな$i$に対して安定化し、反射的ハルの同型を示唆する。
• 体拡張$K'$上での不安定化商の存在は、初期の$\tilde{\mathcal{F}}_K$の$Z$-半安定性に反するため、スタックの完全性を証明する。
• 与えられた安定性条件の下で、スタック$\mathcal{FM}^{1,[0];Z\text{-}ss}_{C_{\mathcal{M}}/\mathcal{M}}(Y,c)$は完全であり、したがってコンパクトである。
• この結果は、今後、任意のアズマヤのノード曲線から$Y$へのモルフィズムの安定性を定義するための基礎的コンパクト性結果を確立する。