[論文レビュー] A theory of emergent quantum mechanics

Ricardo Gallego Torromé|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 112被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアン＝ランダース力学系—古典的で決定論的かつ局所的なもの—が、幾何学的および測度論的原理に基づいて量子力学の出現をモデル化できることを提案している。量子的性質が幾何学的および測度論的原理から生じることを示し、局所微分同型不変性、可逆的力学、普遍的な加速度上限といった主要な量子的特徴が自然に出現する。一方、自発的波動関数の収縮と安定した真空状態は、測度の集中現象によって説明され、重力がこの力学の古典的現れである可能性を示唆している。

ABSTRACT

Hamilton-Randers dynamical systems, a particular class of Hamiltonian dynamical systems, are considered as mathematical models for deterministic emergent quantum mechanics. We show that in such framework, local diffeomorphism invariance, reversibility of the effective quantum dynamics and an universal maximal bound for proper acceleration emerge in that class of classical, deterministic and local models. Starting from the elements of Hamilton-Randers spaces, a phenomenological Hilbert space is constructed and associated with the space of wave functions of quantum mechanics. A geometric description for a spontaneous reduction of the quantum states, based on the concentration of measure phenomena as it appears in asymptotic Banach theory and probability theory, is described in general terms. It is also shown how the same concentration of measure phenomena plays a remarkable role in showing conditions for the existence of stable vacua states for the matter Hamiltonian. Furthermore, it is discussed the emergence of a weak equivalence principle from very fundamental principles of mathematical analysis and the basic assumptions of Hamilton-Randers theory. This fact, together with the existence in the theory of a maximal speed and the property of diffeomorphism invariance of the interaction driving the reduction of the quantum state, suggest that the reduction of the quantum state is driven by a gravitational type interaction. Moreover, since such interaction appears only in the dynamical domain when localization happens, it must be associated with a classical interaction. We make the hypothesis that such identification is universal and that indeed gravity is a domain of the dynamics of Hamilton-Randers systems. Hence Hamilton-Randers theory provides an unification scheme where quantum mechanics and classical gravity are both emergent.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン＝ランダース力学系を用いて、出現的量子力学の決定論的・局所的・古典的枠組みを構築すること。
• ユニタリな時間発展、波動関数の収縮、安定した真空状態といった量子的性質が、幾何学的および確率論的原理からどのように出現するかを説明すること。
• この枠組み内での量子状態の縮約に伴う重力が、古典的相互作用として生じるかどうかを調査すること。
• 弱い等価原理とハミルトニアン＝ランダース理論の基礎的数学的構造との間の関係を確立すること。
• 量子力学と古典的重力を、同一の基本的力学系から生じる現象として統一すること。

提案手法

• ハミルトニアン＝ランダース空間の幾何学から、量子状態空間をモデル化する現象的ヒルベルト空間を構築する。
• アス比的バナッハ理論および確率論からの測度の集中現象を応用し、自発的波動関数の縮約を記述する。
• ハミルトニアン＝ランダース空間の数学的構造を用いて、局所微分同型不変性および固有加速度の普遍的上限を導出する。
• 測度の集中と幾何的制約を用いて、物質ハミルトニアンの安定した真空状態の存在を分析する。
• 数学的解析の基礎的原理とハミルトニアン＝ランダース理論の公理から、弱い等価原理を導出する。
• 量子状態の縮約を駆動する相互作用を、局所化の際にのみ作用する重力的性質の古典的相互作用として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的で局所的かつ古典的なハミルトニアン＝ランダース系は、ユニタリティや波動関数の収縮といった量子力学の核心的特徴を再現できるか？
• RQ2 高次元幾何における測度の集中現象は、この枠組みでどのように量子状態の自発的縮約をもたらすか？
• RQ3 ハミルトニアン＝ランダース力学において、物質ハミルトニアンの安定した真空状態が存在するための条件は何か？
• RQ4 弱い等価原理は、ハミルトニアン＝ランダース理論の数学的構造からどのように出現するか？
• RQ5 量子力学と重力が、量子状態が局所化する動的領域にのみ現れる古典的相互作用として統合されるのか？

主な発見

• 局所微分同型不変性と固有加速度の普遍的上限が、ハミルトニアン＝ランダース力学系において自然に出現する。
• 自発的波動関数の縮約は、高次元空間における測度の集中現象によって幾何学的に記述される。
• 同じ測度の集中メカニズムが、物質ハミルトニアンの安定した真空状態の存在を保証する。
• 弱い等価原理は、数学的解析の基礎的原理とハミルトニアン＝ランダース理論の公理から生じる。
• 量子状態の縮約を駆動する相互作用は、局所化時にのみ作用する古典的重力的相互作用として特定される。
• 量子力学と古典的重力は、いずれも同一の基本的ハミルトニアン＝ランダース力学から出現するため、統一的枠組みを示唆する。