[論文レビュー] Circuits, Bond Graphs, and Signal-Flow Diagrams: A Categorical Perspective

Brandon Coya|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、電気回路、信号フローダイアグラム、ボンドグラフを構成的構造として統一的かつ形式的に扱うための圏論的枠組みを、プロップ（props）を用いて確立する。各構造を、合成が直列接続、テンソル積が並列接続を表すような、プロップ内の準同型写像としてモデル化することで、ブラックボックス化（内部構造の抽象化）がプロップ間の準同型写像をもたらすことを証明した。主な結果として、回路およびボンドグラフの振るまいに関して、コアレーションとラグランジュ関係の性質が得られている。

ABSTRACT

We use the framework of "props" to study electrical circuits, signal-flow diagrams, and bond graphs. A prop is a strict symmetric monoidal category where the objects are natural numbers, with the tensor product of objects given by addition. In this approach, electrical circuits make up the morphisms in a prop, as do signal-flow diagrams, and bond graphs. A network, such as an electrical circuit, with $m$ inputs and $n$ outputs is a morphism from $m$ to $n$, while putting networks together in series is composition, and setting them side by side is tensoring. Here we work out the details of this approach for various kinds of electrical circuits, then signal-flow diagrams, and then bond graphs. Each kind of network corresponds to a mathematically natural prop. We also describe the "behavior" of electrical circuits, bond graphs, and signal-flow diagrams using morphisms between props. To assign a behavior to a network we "black box" the network, which forgets its inner workings and records only the relation it imposes between inputs and outputs. The process of black-boxing a network then corresponds to a morphism between props. Interestingly, there are two different behaviors for any bond graph, related by a natural transformation. To achieve all of this we first prove some foundational results about props. These results let us describe any prop in terms of generators and equations, and also define morphisms of props by naming where the generators go and checking that relevant equations hold. Technically, the key tools are the Rosebrugh--Sabadini--Walters result relating circuits to special commutative Frobenius monoids, the monadic adjunction between props and signatures, and a result saying which symmetric monoidal categories are equivalent to props.

研究の動機と目的

• 電気回路、信号フローダイアグラム、ボンドグラフの形式的取り扱いを、共通の圈权論的枠組みの下で統一すること。
• プロップの数学的構造を用いて、ネットワーク化された系の構成的性質を形式化すること。
• ブラックボックス化プロセスを、入出力振るまいを捉えるプロップ間の準同型写像として定義・分析すること。
• ボンドグラフが二種類の異なるが関連する振るまいを有することを確立し、それらを自然変換で結ぶこと。
• 対称モノイダル圏における生成子、関係、普遍性を用いた、ネットワーク系に関する推論の基盤を提供すること。

提案手法

• 自然数を対象とし、加法をテンソル積とする、厳密な対称モノイダル圏である「プロップ」の数学的枠組みを用いる。
• 電気回路、信号フローダイアグラム、ボンドグラフを、それぞれ異なるプロップ内の準同型写像としてモデル化し、合成が直列接続、テンソル積が並列接続を表すようにする。
• Rosebrugh–Sabadini–Waltersの結果を応用し、コアレーションを通じて回路と特別な可換フロベニウスモノイドとの関係を確立する。
• 署名とプロップのモノイダル随伴を用いて、各ネットワークタイプを生成子と方程式による提示で表す。
• コアレーションの概念を用いて、回路およびボンドグラフにおける接続構造をモデル化し、構造と振るまいの双対性を可能にする。
• ブラックボックス化を、ネットワークのプロップから振るまいのプロップへの関手として定義し、線形関係またはラグランジュ関係を用いて入出力ダイナミクスを捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電気回路、信号フローダイアグラム、ボンドグラフを、対称モノイダル圏内の準同型写像として一様にモデル化する方法は何か？
• RQ2 入出力を持つネットワークの構成的振るまいを捉える圈权論的構造は何か？
• RQ3 内部詳細を抽象化するブラックボックス化プロセスが、プロップ間の準同型写像としてどのように対応するか？
• RQ4 なぜボンドグラフが二種類の異なるが関連する振るまいを有するのか？そしてそれらはどのように自然変換によって結ばれるか？
• RQ5 これらのネットワーク理論的プロップを体系的に構成可能にする普遍的性質または提示定理は何か？

主な発見

• 抵抗、インダクタ、コンデンサからなる電気回路は、入出力変数間の線形関係が振るまいとして捉えられるプロップ内の準同型写像としてモデル化可能である。
• L-回路のプロップは、抵抗、インダクタ、コンデンサ、ワイヤーの生成子と、キルヒホッフの法則およびオームの法則を符号化する方程式によって提示される。
• 完全に導通するワイヤーのみからなる回路はコアレーションに対応し、その振るまいは、特別な可換フロベニウスモノイドと同値であるプロップ FinCorel で捉えられる。
• 信号フローダイアグラムは、振るまいが線形関係で記述されるプロップ内の準同型写像として形式化され、ブラックボックス化により線形関係のプロップへの対称モノイダル関手が得られる。
• ボンドグラフはコアレーションとしても、ラグランジュ関係としてもモデル化可能であり、二つの振るまいは自然変換によって結ばれており、物理的解釈における双対性を示している。
• 本論文は、タイプ付きのローヴェリー理論がカラーリングされたオペラッドから生じる（プロップのケースのように）場合、モノイダル埋め込みを通じて生成子を追加しても、モノイド性が保たれることを証明した。これにより、代数的構造の崩壊を防ぐことが保証される。