[論文レビュー] D-branes and Azumaya/matrix noncommutative differential geometry,II: Azumaya/matrix supermanifolds and differentiable maps therefrom -- with a view toward dynamical fermionic D-branes in string theory

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 61被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、基本的モジュールを備えたアズマヤ／行列スーパemanifoldを導入し、これらの対象から実多様体およびスーパemanifoldへの微分可能写像を定義することで、弦理論における動的フェルミオン的D-braneの幾何的枠組みを提供する。主な貢献は、非可換幾何学と超対称性を統一する数学的に厳密な設定を確立し、ラムド＝ネヴェウ＝シュワルツおよびグリーン＝シュバルツの両スタイルのフェルミオン的D-braneの定式化を可能にするとともに、初めて、チャン＝パトン bundle の写像および断面を用いてD-brane上でのヒッグス機構を形式化する。

ABSTRACT

In this Part II of D(11), we introduce new objects: super-$C^k$-schemes and Azumaya super-$C^k$-manifolds with a fundamental module (or, synonymously, matrix super-$C^k$-manifolds with a fundamental module), and extend the study in D(11.1) ([L-Y3], arXiv:1406.0929 [math.DG]) to define the notion of `differentiable maps from an Azumaya/matrix supermanifold with a fundamental module to a real manifold or supermanifold'. This allows us to introduce the notion of `fermionic D-branes' in two different styles, one parallels Ramond-Neveu-Schwarz fermionic string and the other Green-Schwarz fermionic string. A more detailed discussion on the Higgs mechanism on dynamical D-branes in our setting, taking maps from the D-brane world-volume to the space-time in question and/or sections of the Chan-Paton bundle on the D-brane world-volume as Higgs fields, is also given for the first time in the D-project. Finally note that mathematically string theory begins with the notion of a differentiable map from a string world-sheet (a $2$-manifold) to a target space-time (a real manifold). In comparison to this, D(11.1) and the current D(11.2) together bring us to the same starting point for studying D-branes in string theory as dynamical objects.

研究の動機と目的

• アズマヤ／行列多様体からスーパemanifoldへの微分可能写像の枠組みを拡張し、フェルミオン的自由度を組み込む。
• スーパ- $C^k$-スキームおよび行列スーパemanifoldを用いて、フェルミオン場を有する動的D-braneの幾何的設定を定義する。
• ラムド＝ネヴェウ＝シュワルツおよびグリーン＝シュバルツの2つの異なる弦理論的スタイルにおいて、フェルミオン的D-braneをモデル化する。
• D-brane世界体積から時空への写像、またはチャン＝パトン bundle の断面をヒッグス場として特定することで、動的D-brane上でのヒッグス機構を形式化する。
• 合成的 $C^k$-代数的幾何学および非可換微分幾何学を用いて、D-braneを弦理論における動的対象として研究する基盤を確立する。

提案手法

• フェルミオン的D-braneの幾何的背景として、基本的モジュールを備えたスーパ- $C^k$-スキームおよびアズマヤスーパ- $C^k$-多様体を導入する。
• アズマヤ／行列スーパemanifoldから実多様体およびスーパemanifoldへの微分可能写像を定義し、D(11.1)における $C^k$-写像枠組みを一般化する。
• スピンルス場の層および超代数幾何学の形式的枠組みを用いて、フェルミオン的自由度を非可換幾何学に統合する。
• グロテンディークの代数的幾何学およびデュブックの合成的 $C^k$-代数的微分幾何学を応用し、行列スーパemanifold上に一貫した微分構造を構築する。
• D-brane世界体積からの写像およびチャン＝パトン bundle の断面をヒッグス場として解釈することで、ヒッグス機構をモデル化する。対称性の破れに伴い質量が生成される。
• 基本的モジュールの概念を活用し、D-braneチャン＝パトン bundle やゲージ場の物理的解釈との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アズマヤ／行列スーパemanifoldからスーパemanifoldへの微分可能写像を、非可換幾何学的枠組み内で数学的に厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 本稿で提案されたスーパemanifold形式から、2つの弦理論的スタイル（ラムド＝ネヴェウ＝シュワルツおよびグリーン＝シュバルツ）がどのように自然に現れるか？
• RQ3 D-brane世界体積からの写像およびバンドル断面をヒッグス場として特定することで、動的D-brane上でのヒッグス機構を幾何学的にどのように実現できるか？
• RQ4 基本的モジュールが、D-brane幾何学の物理的整合性および時空への結合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 スーパ- $C^k$-スキームによるフェルミオン的自由度の導入は、行列幾何学の動的D-braneへの適用範囲をどのように拡張するか？

主な発見

• 本稿は、基本的モジュールを備えたアズマヤ／行列スーパemanifoldから実多様体およびスーパemanifoldへの微分可能写像を成功裏に定義し、D(11.1)における $C^k$-写像枠組みを一般化した。
• フェルミオン的D-braneは、同一の非可換スーパージェオメトリック枠組み内において、RNSおよびGSの2つの異なるスタイルで定式化され、統一的な数学的記述が可能となった。
• 本研究において初めて、動的D-brane上でのヒッグス機構が形式化された。ヒッグス場は、D-brane世界体積から時空への写像、またはチャン＝パトン bundle の断面として特定された。
• この枠組みは、微分可能写像によるD-braneの像が、非自明な構造（非連結成分やノルム冪零な曇り拡張など）を示す可能性があることを明らかにした。これは動的挙動を反映している。
• 構成は、弦理論におけるワールドシート写像が果たす役割に類似した、D-brane理論の新しい数学的出発点を確立した。今後、行列的およびスーパージェオメトリックな設定に拡張された。
• 本研究は、合成的 $C^k$-代数的シンプレクティック幾何学およびキャリブレート幾何学、および非アーベル的ダイラック＝ボーン＝インフェルトおよびチェーン＝シモンズ作用素のD-brane上への応用を含む、今後の研究の基盤を提供する。