[论文解读] Ergodic BSDEs driven by G-Brownian motion and their applications

Mingshang Hu, Falei Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文引入由 G-布朗运动驱动的遍历倒向随机微分方程（EBSDEs），在模型不确定性下通过一种新颖的线性化方法建立了其适定性。证明了 G-EBSDEs 解的存在性与唯一性，推导出椭圆 PDE 的完全非线性 Feynman-Kac 公式，并提出一种新的随机方法以证明粘性解的唯一性，从而能够研究不确定环境下的遍历控制与非线性 PDE 问题。

ABSTRACT

The present paper considers a new kind of backward stochastic differential equations driven by G-Brownian motion, which is called ergodic G-BSDEs. Firstly, the well-posedness of G-BSDEs with infinite horizon is given by a new linearization method. Then, the Feynman-Kac formula for fully nonlinear elliptic partial differential equations is established. Moreover, a new probabilistic approach is introduced to prove the uniqueness of viscosity solution to elliptic PDEs in the whole space. Finally, we obtain the existence of solution to G-EBSDE and some applications are also stated.

研究动机与目标

• 开发一类由 G-布朗运动驱动、具有无限时域的新型倒向随机微分方程（BSDEs），称为 G-EBSDEs，用于在模型不确定性下建模遍历问题。
• 通过专为 G-期望框架设计的新线性化技术，建立具有无限时域的 G-BSDEs 解的存在性与唯一性。
• 推导出将 G-EBSDEs 与完全非线性椭圆 PDE 解联系起来的完全非线性 Feynman-Kac 公式。
• 提出一种新的随机方法，用于证明 R^n 中完全非线性椭圆 PDE 粘性解的唯一性，优于现有方法。
• 展示在完全非线性 PDE 解的大时间行为及模型不确定性下的最优遍历控制问题中的应用。

提出的方法

• 提出一种新颖的线性化方法，以证明在 G-期望空间中具有无限时域的 G-BSDEs 的适定性，克服了先前方法在该框架下的局限性。
• 建立一个非线性 Feynman-Kac 公式，将 G-EBSDEs 与如下形式的完全非线性椭圆 PDE 解联系起来：$ G(H(D_x^2 v, D_x v, \lambda, x)) + \langle b(x), D_x v \rangle + f(x, D_x v \sigma(x)) + \gamma^1 \lambda = 0 $。
• 引入一种基于 G-EBSDE 框架与收敛性论证的随机方法，用于证明 R^n 中椭圆 PDE 粘性解的唯一性。
• 利用包含 $ \gamma^1 $ 和 $ \gamma^2 $ 的漂移、扩散与二次变差项的 G-BSDE 结构，满足 $ \gamma^1 + 2G(\gamma^2) < 0 $，以建模遍历动力学。
• 应用比较定理与 $ G $-鞅和 $ G $-期望的收敛性结果，分析长期行为。
• 采用涉及序列 $ (t_m, x_m) \to (t,x) $ 与 $ \mathbb{\hat{E}}[\cdot] $ 上估计的极限论证，证明值函数的连续性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在模型不确定性下形式化并证明由 G-布朗运动驱动的新型遍历 BSDE 类的适定性？
• RQ2 所提出的 G-EBSDE 框架是否能为椭圆 PDE 提供完全非线性 Feynman-Kac 公式？
• RQ3 能否通过使用 G-EBSDEs 的新随机方法，证明 R^n 中完全非线性椭圆 PDE 粘性解的唯一性？
• RQ4 G-EBSDE 对完全非线性 PDE 解的大时间行为有何影响？
• RQ5 G-EBSDE 能否应用于模型不确定性下的最优遍历控制问题？

主要发现

• 一种新颖的线性化方法确保了在适当条件下，G-BSDEs 在无限时域下具有适定性，克服了经典方法在 G-期望空间中的局限性。
• 建立了 G-EBSDEs 解的存在性与唯一性，解四元组 $ (Y^x, Z^x, K^x, \lambda) $ 对所有 $ 0 \leq s \leq T < \infty $ 满足方程。
• 推导出一个完全非线性 Feynman-Kac 公式，将 G-EBSDE 的解与一类新完全非线性椭圆 PDE 的粘性解联系起来。
• 提出一种新的随机方法，用于证明 R^n 中椭圆 PDE 粘性解的唯一性，推广并改进了先前结果。
• 证明了 G-BSDE 的解 $ \bar{u}(t,x) $ 有界且连续，且当 $ m \to \infty $ 时，有 $ \bar{u}^m(t_m,x_m) \to \bar{u}(t,x) $。
• 该方法适用于一般 HJB 方程，并可扩展至研究模型不确定性下的大时间渐近行为与遍历控制问题。