[論文レビュー] Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 6 from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions Using Legendre Polynomials

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Dec 31, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、multiplicities 1 から 6 の反復 Ito および Stratonovich ストキャスティック積分のための平均二乗近似法を提示する。一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数を用いて、これらの積分の核関数をレジェンドル多項式の展開で表現し、明示的な近似公式を導出し、任意のmultiplicityに対してほとんど確実収束を証明する。これにより、ストキャスティック微分方程式の高次強度数値スキームの構築が可能となる。

ABSTRACT

The article is devoted to the practical material on expansions and mean-square approximations of specific iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 with respect to components of the multidimensional Wiener process on the base of the method of generalized multiple Fourier series. More precisely, we used the multiple Fourier--Legendre series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k)$ $(k=1,\ldots,6)$ for approximation of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. The considered iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals are part of the stochastic Taylor expansions (Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions). Therefore, the results of the article can be useful for construction of the high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations. Expansions of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 6 using Legendre polynomials are derived. The convergence with probability 1 of the mentioned method of generalized multiple Fourier series is proved for iterated Ito stochastic integrals of multiplicities $k$ $(k\in\mathbb{N})$ for the cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series.

研究の動機と目的

• 反復ItoおよびStratonovichストキャスティック積分のmultiplicity 1 から 6 に対する実用的な平均二乗近似公式の開発。
• 一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数展開を用いて、これらの積分を $L_2([t,T]^k)$ ノルムで近似する。
• 任意のmultiplicity $k \in \mathbb{N}$ の反復Ito積分に対して、近似法のほとんど確実収束を確立する。
• multiplicity 1 から 4 の特定のStratonovich積分の平均二乗近似誤差に対する正確な表現を提供する。
• Taylor–ItoおよびTaylor–Stratonovich展開を用いて、Itoストキャスティック微分方程式の高次強度数値スキームの構築を支援する。

提案手法

• 反復ItoおよびStratonovichストキャスティック積分の核関数を、空間 $L_2([t,T]^k)$ 内で多重フーリエ–レジェンドル級数に展開する。
• レジェンドル多項式の基底への直交射影を用いて、multiplicity 1 から 6 の積分の近似公式を導出する。
• 多重確率積分表現における不連続性および非予測可能性を扱うために、非自明な変換を適用する。
• 正確な積分とその切断されたレジェンドル級数展開との比較により、平均二乗近似誤差の明示的表現を導出する。
• 任意のmultiplicity $k$ の反復Ito積分に対して、レジェンドル級数近似のほとんど確実収束を証明する。
• ウィENER過程の増分の性質および伊藤等価性を用いて、近似における誤差項の計算と上限評価を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 multiplicity 1 から 6 の反復ItoおよびStratonovichストキャスティック積分を、直交展開を用いてどのように効率的に近似できるか。
• RQ2 multiplicity 1 から 4 の特定のStratonovich積分の平均二乗近似誤差の構造はいかなるものか。
• RQ3 任意のmultiplicity $k$ の反復Ito積分に対して、一般化された多重フーリエ–レジェンドル級数展開はほとんど確実に収束するか。
• RQ4 レジェンドル級数の係数は、ストキャスティック積分の核関数およびその対称性とどのように関係するか。
• RQ5 本手法は、Taylor–ItoおよびTaylor–Stratonovich展開を介して、Ito SDEの高次強度数値スキームへの拡張が可能か。

主な発見

• multiplicity 1 から 6 の反復ItoおよびStratonovichストキャスティック積分に対して、レジェンドル多項式展開を用いた明示的近似公式が導出された。
• $I_{(0000)T,t}^{*(i_1i_2i_3i_4)}$ の平均二乗近似誤差は、二乗係数および交差項を含む複雑な式で与えられ、主要項として $\frac{(T-t)^4}{16}$ を含む。
• $i_1 = i_4 \neq i_2 = i_3$ の場合、誤差式には $\sum_{j_4=0}^q \sum_{j_1=0}^{j_4-1} \left( \sum_{j_2=0}^q C_{j_1j_2j_2j_4} + \sum_{j_2=0}^q C_{j_4j_2j_2j_1} \right)^2$ のような項が含まれる。
• 本手法により、任意のmultiplicity $k \in \mathbb{N}$ の反復Ito積分に対して、レジェンドル級数近似のほとんど確実収束が保証される。
• $I_{(0000)T,t}^{*(i_1i_2i_2i_1)}$ の誤差には補正項 $\frac{(T-t)^4}{48}$ が含まれており、これはItoとStratonovich解釈の差を反映している。
• 収束解析により、展開次数 $q$ が増加するにつれて近似誤差が 0 に近づくことが確認され、特定のケースに対して明示的な上限が導出された。