[論文レビュー] Projective Model Structures for Exact Categories

Jack Kelly|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アーベル埋め込みと弱イドムポテンス完備性を備えた完全カテゴリーが、その鎖複体圏に射影的モデル構造を備えるための十分条件を確立する。完全カテゴリーが十分な射影的対象を持つならば、有界下の鎖複体の圏は射影的モデル構造を備え、さらに核の存在や直和の完全性といった追加の仮定のもと、非有界鎖複体に対しても同様の構造が存在することが示され、ドールド＝カーン対応の一般化となる。

ABSTRACT

In this article we provide sufficient conditions on weakly idempotent complete exact categories $E$ which admit an abelian embedding, such that various categories of chain complexes in $E$ are equipped with projective model structures. In particular we show that as soon as $E$ has enough projectives, the category $ extbf{Ch}_{+}(E)$ of bounded below complexes is equipped with a projective model structure. In the case that $E$ also admits all kernels we show that it is also true of $ extbf{Ch}_{\ge0}(E)$, and that a generalisation of the Dold-Kan correspondence holds. Supplementing the existence of kernels with a condition on the existence and exactness of certain direct limit functors guarantees that the category of unbounded chain complexes $ extbf{Ch}(E)$ also admits a projective model structure. When $E$ is monoidal we also examine when these model structures are monoidal and conclude by studying some homotopical algebra in such categories. Along the way we also discuss generators in exact categories.

研究の動機と目的

• アーベル埋め込みを備えた完全カテゴリーが、その鎖複体圏に射影的モデル構造を備えるための十分条件を同定すること。
• 完全カテゴリーが十分な射影的対象を持つ場合に、有界下の鎖複体圏が射影的モデル構造を備える条件を調査すること。
• 核の存在と特定の直和関手の完全性を仮定することで、非有界鎖複体に対しても射影的モデル構造を拡張すること。
• 底となる完全カテゴリーがモノイダルである場合に、得られるモデル構造がどのようにモノイダル構造を引き継ぐかを検討すること。
• このようなカテゴリーにおけるホモトピー代数への影響を検討し、特に完全カテゴリーにおける生成子の役割を明らかにすること。

提案手法

• 研究対象となる完全カテゴリーの基礎として、弱イドムポテンス完備性とアーベル埋め込みを仮定する。
• 十分な射影的対象の存在を活用して、有界下の鎖複体圏に射影的モデル構造を適用する理論を適用する。
• 完全カテゴリーがすべての核を備えると仮定することで、非有界複体への構成を拡張する。
• 非有界鎖複体圏における射影的モデル構造の存在を保証するため、特定の直和関手の完全性に関する条件を導入する。
• 核を備え、適切な極限挙動を満たす完全カテゴリーの文脈において、ドールド＝カーン対応の一般化を実行する。
• 底となる完全カテゴリーに適合するモノイダル構造が備わっている場合、モデル圏におけるモノイダル構造の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全カテゴリーにおける有界下の鎖複体圏が射影的モデル構造を備えるための条件は何か？
• RQ2 核を備える完全カテゴリーの文脈において、ドールド＝カーン対応をどのように一般化できるか？
• RQ3 非有界鎖複体圏への射影的モデル構造の拡張を実現するため、直和に関するどの追加的構造的仮定が必要か？
• RQ4 底となる完全カテゴリーがモノイダルである場合、鎖複体上の構築された射影的モデル構造が、どのようにモノイダル構造を引き継ぐか？
• RQ5 完全カテゴリーにおける生成子は、モデル構造の構築と性質にどのように関係するか？

主な発見

• 完全カテゴリー $ E $ が十分な射影的対象を持ち、アーベル埋め込みを備えるならば、有界下の鎖複体の圏 $ extbf{Ch}_{+}(E) $ は射影的モデル構造を備える。
• $ E $ がすべての核を備えるならば、非負に番号付けられた複体の圏 $ extbf{Ch}_{\text{≥0}}(E) $ は射投影的モデル構造を備える。
• 特定の直和関手が存在し、それらが完全であるという追加の仮定のもと、非有界鎖複体の圏 $ extbf{Ch}(E) $ は射投影的モデル構造を備える。
• すべての核を備え、直和関手の完全性を満たす完全カテゴリーにおいて、ドールド＝カーン対応の一般化が成立する。
• $ E $ がモノイダルである場合、$ extbf{Ch}(E) $、$ extbf{Ch}_{+}(E) $、および $ extbf{Ch}_{\text{≥0}}(E) $ における射投影的モデル構造は、適合するモノイダル構造を備えることができる。
• 完全カテゴリーにおける生成子の存在が、これらのモデル構造の構築と挙動に重要であることが示された。