[论文解读] Stochastic Differential Equations with Critical Drifts

Kyeongsik Nam|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文在满足 $\frac{2}{q} + \frac{d}{p} = 1$ 的条件下，建立了当漂移项属于临界 Lorentz-Orlicz 空间 $L^{q,1}([0,T],L^p_x)$ 时，带加法噪声的随机微分方程（SDEs）的适定性。证明了强解的存在性与唯一性，并在该临界可积性条件下推导出解的 Sobolev 正则性，解决了临界情形下长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

We establish the well-posedness of SDE with the additive noise when a singular drift belongs to the critical spaces. We prove that if the drift belongs to the Orlicz-critical space $L^{q,1}([0,T],L^p_x)$ for $p,q\in (1,\infty)$ satisfying $\frac{2}{q}+\frac{d}{p} =1$, then the corresponding SDE admits a unique strong solution. We also derive the Sobolev regularity of a solution under the Orlicz-critical condition.

研究动机与目标

• 解决关于当漂移项属于临界 Lorentz-Orlicz 空间 $L^{q,1}([0,T],L^p_x)$ 时，带加法噪声的 SDE 适定性问题的长期猜想。
• 在临界条件 $\frac{2}{q} + \frac{d}{p} = 1$ 下，建立 SDE 强解的存在性与唯一性。
• 在漂移项的 Orlicz-临界条件下，推导解的 Sobolev 正则性。
• 将经典 SDE 适定性理论从次临界区域扩展至临界区域，其中先前的结果失效。

提出的方法

• 利用 Yamada-Watanabe 原理，将问题简化为证明弱解的存在性与强解的唯一性。
• 应用 O’Neil 在混合范数 Lorentz 空间中的卷积不等式，以控制临界情形下的奇异漂移。
• 在拟 Banach 空间设定下采用不动点论证，使用修正的 Banach 不动点定理处理拟 Banach 空间。
• 应用 Hardy-Littlewood 极大函数估计以控制流映射的差异。
• 利用 Hadamard引理，在非奇异性和散度条件成立下建立解流的全局双射性。
• 依赖拉格朗日流理论及 SDE 与连续性方程之间的联系，推导解的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移项 $b$ 属于临界 Lorentz-Orlicz 空间 $L^{q,1}([0,T],L^p_x)$ 且满足 $\frac{2}{q} + \frac{d}{p} = 1$ 时，SDE $dX_t = b(t,X_t)dt + dB_t$ 是否存在唯一的强解？
• RQ2 在漂移项具有相同临界可积性条件下，能否建立解的 Sobolev 正则性？
• RQ3 条件 $\frac{2}{q} + \frac{d}{p} = 1$ 对于带加法噪声的 SDE 适定性是否为最优的？
• RQ4 拉格朗日流理论与连续性方程在随机设定下的临界区域中如何推广？

主要发现

• 当 $b \in L^{q,1}([0,T],L^p_x)$ 且 $\frac{2}{q} + \frac{d}{p} = 1$ 时，SDE $dX_t = b(t,X_t)dt + dB_t$ 存在唯一的强解，其中 $p,q \in (1,\infty)$。
• 在相同临界条件下，解表现出 Sobolev 正则性，将正则性结果推广至边界情形。
• 临界条件 $\frac{2}{q} + \frac{d}{p} = 1$ 被证明是最优的，因为在超临界区域存在反例。
• 证明依赖于在混合范数 Lorentz 空间中对 O’Neil 卷积不等式的创新应用，以控制漂移的奇异行为。
• 采用修正的拟 Banach 空间中的不动点定理，以应对 Lorentz 空间中缺乏 Banach 空间结构的问题。
• 结果证实了长期存在的猜想：Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin 条件即使在临界阈值下也足以保证适定性。