[論文レビュー] Strong Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series. Application to Numerical Solution of Ito SDEs and Semilinear SPDEs

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Mar 28, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 111被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、L²([t,T]^k)における一般化された多重フーリエ級数を用いて、任意の多重度の反復伊藤およびストラトノビッチ確率積分の強い（平均二乗）近似のための新規な手法を提示する。正規直交系（ルジャンドル多項式や三角関数など）を活用することで、トレースクラスノイズを伴うイトSDEおよび半線形SPDEの高次数の数値解法が可能となり、強収束次数1.0から3.0を達成するとともに、誤差式の簡略化により計算コストを顕著に削減する。

ABSTRACT

The book is devoted to the strong approximation of iterated stochastic integrals (ISIs) in the context of numerical integration of Ito SDEs and non-commutative semilinear SPDEs with nonlinear multiplicative trace class noise. The monograph opens up a new direction in researching of ISIs. For the first time we successfully use the generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in $L_2([t, T]^k)$ for the expansion and strong approximation of Ito ISIs of multiplicity $k,$ $k\in{\bf N}$ (Chapter 1). This result has been adapted for Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 8 (the case of continuously differentiable weight functions and a CONS of Legendre polynomials or trigonometric functions in $L_2([t, T])$) and for Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 6 (the case of continuous weight functions and an arbitrary CONS in $L_2([t, T])$) (Chapter 2), as well as for some other types of iterated stochastic integrals (Chapter 1). Recently (in 2024), the mentioned adaptation has also been carried out for Stratonovich ISIs of multiplicity $k$ $(k\in{\bf N})$ for the case of an arbitrary CONS in $L_2([t, T])$ (Theorems 2.59, 2.61) but under one additional condition. We derived the exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of Ito ISIs of multiplicity $k$, $k\in{\bf N}$ (Chapter 1). We provided a significant practical material (Chapter 5) devoted to the expansions of specific Ito and Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 6 from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions (Chapter 4) using the CONS of Legendre polynomials and the CONS of trigonometric functions. The methods formulated in this book have been compared with some existing methods (Chapter 6). The results of Chapter 1 were applied (Chapter 7) to the approximation of ISIs of multiplicity $k,$ $k\in{\bf N}$ with respect to the $Q$-Wiener process.

研究の動機と目的

• 任意の多重度 k ∈ ℕ に対する反復イトおよびストラトノビッチ確率積分の体系的な強い近似手法の開発。
• 乗法的トレースクラスノイズを伴う非可換半線形SPDEおよびイトSDEの高次数数値統合の実現。
• 誤差式の簡略化により計算コストを削減し、誤差式における階乗係数を実際には線形項に置き換える。
• 有限次元および無限次元Qウィーナー過程へのこの手法の拡張を実現し、実用的な数値実装を可能にする。
• SDEおよびSPDEに適用可能な統一されたテイラー＝イットおよびテイラー＝ストラトノビッチ展開のフレームワークの提供。

提案手法

• 任意の多重度 k に対する反復イット確率積分の強近似のため、L²([t,T]^k)における一般化された多重フーリエ級数を用いる。
• ヒルベルト空間 L²([t,T]) における収束を保証する完全正規直交系（ルジャンドル多項式および三角関数）を適用する。
• 反復イット確率積分のクラスに対して、積分順序の置換技術を導入し、マーチング代数に基づく積分へ一般化する。
• 数値的精度の向上を図るため、2つの新しい形のテイラー＝イットおよびテイラー＝ストラトノビッチ展開（統一展開）を構築する。
• 事前計算されたフーリエ＝ルジャンドル係数（270,000項目）を用いたPythonソフトウェアによる実装により、効率的な数値シミュレーションを実現する。
• 有限次元WM^tおよび無限次元Qウィーナー過程Wtに対する積分の近似に、多重度1～3を対象として本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L²([t,T]^k)における一般化された多重フーリエ級数を用いて、任意の多重度に対する反復イットおよびストラトノビッチ確率積分の強い（平均二乗）近似が可能か？
• RQ2 多重度1～6の反復イットおよびストラトノビッチ積分の平均二乗近似誤差の正確な形は何か？
• RQ3 収束次数を損なわずに、これらの積分を近似する際の計算コストをどのように低減できるか？
• RQ4 実際の計算において、誤差式における階乗項をどの程度簡略化できるか、特に誤差式に現れる階乗項の扱いについて。
• RQ5 高次数のテイラー型展開を用いて、トレースクラスノイズを伴う半線形SPDEの数値解法にこの手法を拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の多重度 k ∈ ℕ に対する反復イット確率積分の平均二乗近似誤差の正確な表現を確立した。
• 多重度1～4の反復ストラトノビッチ積分について、正確な誤差表現を導出し、数値スキームにおける誤差制御を明確に可能にした。
• 統一されたテイラー＝イットおよびテイラー＝ストラトノビッチ展開を用いることで、強収束次数1.0、1.5、2.0、2.5、3.0を達成した。
• 計算実験の結果、誤差式における階乗係数 k!（例：(1.153)式）を実際には無視できることが判明し、計算コストを顕著に削減できた。
• 誤差式(7.32)における係数 (k!)² を、実際の計算では k! に置き換えても精度を損なわず、代替可能であることが示された。
• 有限次元および無限次元Qウィーナー過程に対する積分の近似誤差に関する理論的上限を導出し、適切な条件下で O((sup_{i∈J extbackslash JM} λ_i)^{2α}(T−t)^3) の収束速度を示した。