[論文レビュー] The Sum Theorem for Linear Maximal Monotone Operators

M. D. Voisei|ArXiv.org|Sep 3, 2006

Differential Equations and Boundary Problems被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、Banach空間における線形最大単調作用素に対して、Rockafellarの和予想を、D(A)−D(B) が閉であるという条件下で証明する。凸解析と双対性理論を用いて、A+B が最大単調であることを確立し、非反射的設定において、従来の結果よりも弱い制約条件下で一般予想を解決する上で重要な一歩を踏み出す。

ABSTRACT

The goal of this article is to give a positive answer to Rockafellar's maximality of the sum conjecture in the linear multi-valued operator case.

研究の動機と目的

• Banach空間における2つの最大単調作用素の和の最大単調性に関するRockafellarの予想を、線形多価の場合に解消すること。
• 標準的制約 int(D(A) ∩ D(B)) ≠ ∅ を、D(A) − D(B) が閉であるという条件に緩和すること。
• この新しい、より一般的な資格条件のもとで、線形最大単調作用素に対して A + B の最大単調性を確立すること。
• 線形作用素の文脈において、凸双対性と下方連続性を用いた、新たな証明技法を提供すること。

提案手法

• A と B の単調性条件をそれぞれ表す、X × X* 上の凸関数 α と β を定義する。値は拡張実数値をとる。
• A + B を符号化するため、α, β および定数項を組み合わせた、Φ: X × X* × X* × X → ℝ ∪ {∞} なる凸関数を構成する。
• 凸解析における基本的双対性公式（Zălinescu, [6, Theorem 2.7.1(vii)]) を適用し、Φ の下界とそのFenchel変換の共役関数との関係を導出する。
• D(A) − D(B) の閉性を用いて、Φ の定義域の射影の内部に 0 が含まれることを保証し、双対性公式の成立を確保する。
• 双対性公式から重要な不等式 (4) を導出し、これを A と B に関する下界の表現に再表現することで、和の単調性を分析する。
• A と B に関する下界が両方とも 0 に等しいことを示し、(x₀, x₀*) ∈ A + B が成り立つことを示す。これにより A + B の最大単調性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach空間における2つの線形最大単調作用素 A + B が最大単調であるための条件は何か？
• RQ2 線形の場合に、標準的制約 int(D(A) ∩ D(B)) ≠ ∅ をより弱い条件に置き換えることができるか？
• RQ3 D(A) − D(B) が閉である場合、領域の内部の共通部分が空でない場合でも、A + B の最大単調性が保証されるか？
• RQ4 凸解析における双対性理論を、線形単調作用素の和の最大単調性の証明に効果的に応用できるか？
• RQ5 D(A) − D(B) が閉であれば、任意の A + B に関連する単調ペア (x₀, x₀*) に対して (x₀, x₀*) ∈ A + B が保証されるか？

主な発見

• D(A) − D(B) が閉であれば、2つの線形最大単調作用素 A + B は最大単調である。
• D(A) − D(B) が閉であるという条件は、必要十分条件であり、これを緩和すると反例が得られる。
• 証明は、注意深く構築された凸関数 Φ に凸解析の基本的双対性公式を適用することに依存する。
• 鍵となるステップは、ある内積に関する A と B における下界が両方とも 0 に等しいことを示すことであり、これにより (x₀, x₀*) ∈ A + B が導かれる。
• この結果は、Phelps と Simons、および Voisei の先行研究を一般化し、より広いクラスの線形作用素にまで拡張する。
• D(A) − D(B) が閉であるという条件は、線形作用素に対する和定理が成り立つ最小かつ自然な条件である。