[論文レビュー] Almost Sure Stabilization for Adaptive Controls of Regime-switching LQ Systems with A Hidden Markov Chain

Bernard Bercu, François Dufour+1 more|ArXiv.org|Jul 9, 2008

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、隠れマルコフ連鎖によって駆動される連続時間の定常スイッチング線形二次（LQ）システムの適応制御における確率的安定化を確立する。適切なリャプノフ関数を構築し、非線形フィルタリング（ウォンハムフィルタ）を活用することで、線形フィードバック制御が標本パス安定性を確実に保証することを証明した。また、弱い条件下でも制御過程が正再帰的であることが示された。

ABSTRACT

This work is devoted to the almost sure stabilization of adaptive control systems that involve an unknown Markov chain. The control system displays continuous dynamics represented by differential equations and discrete events given by a hidden Markov chain. Different from previous work on stabilization of adaptive controlled systems with a hidden Markov chain, where average criteria were considered, this work focuses on the almost sure stabilization or sample path stabilization of the underlying processes. Under simple conditions, it is shown that as long as the feedback controls have linear growth in the continuous component, the resulting process is regular. Moreover, by appropriate choice of the Lyapunov functions, it is shown that the adaptive system is stabilizable almost surely. As a by-product, it is also established that the controlled process is positive recurrent.

研究の動機と目的

• 部分的に観測可能な定常スイッチングLQシステムにおける適応制御の分野で、経路ごとの（ほとんど確実な）安定化結果が不足しているという問題に取り組む。
• 観測不能なマルコフジャンプパラメータを有するシステムに対して、従来の平均モーメントに基づく安定性基準を標本パス安定性へと拡張する。
• 線形成長を示す線形フィードバック制御が、ほとんど確実な安定性および正再帰性を保証することを確立する。
• 部分観測および適応制御下での制御過程について、きめ細やかな標本パス解析を提供する。
• ウォンハムフィルタが、隠れマルコフ過程を有するシステムにおける適応制御設計を可能にする役割を実証する。

提案手法

• 観測不能な連続時間マルコフ連鎖によって動かされる連続時間LQシステムを用いる。
• 未観測のマルコフ状態を推定するためにウォンハムフィルタを適用し、適応制御設計を可能にする。
• 定常スイッチング構造に適合したリャプノフ関数を構築し、ほとんど確実な安定性を証明する。
• 非線形フィルタリングおよびマルティンググール技法を用いて、推定誤差および制御過程の挙動を分析する。
• 局所マルティンググールの強大数法則を用いて、正規化された状態および制御項の収束を示す。
• 標本パス安定性を保証するため、二次変動の有界性および積分可能性条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 隠れマルコフ的スイッチングを有するLQシステムにおいて、適応制御戦略がほとんど確実（標本パス）安定性を確保できるか。
• RQ2 リャプノフ関数の選択が、観測不能な状態を有する定常スイッチングシステムの安定性解析に与える影響は何か。
• RQ3 部分観測下での適応制御を可能にするために、ウォンハムフィルタが果たす役割は何か。
• RQ4 隠れマルコフ的スイッチングが存在する状況で、制御過程が正再帰的であるための条件は何か。
• RQ5 2次モーメント安定性基準とほとんど確実な安定性基準は、システム挙動にどのような異なる含意を持つのか。

主な発見

• 連続状態において線形成長を示す線形フィードバック制御のもと、制御過程はほとんど確実に安定である。
• システムは正再帰的であり、これはほとんど確実にコンパクト集合への再帰性および長期的安定性を保証する。
• 隠れマルコフ連鎖の推定誤差はほとんど確実に収束し、効果的な適応制御が可能になる。
• 正規化された状態および制御過程はほとんど確実にゼロに収束し、漸近的安定性を示している。
• 推定誤差のマルティンググールの二次変動は、ほとんど確実に時間の線形関数によって有界である。
• マルコフスイッチング構造に適合したリャプノフ関数の使用により、弱い条件下でもほとんど確実な安定化が保証される。