[論文レビュー] Asymptotics and approximations of ruin probabilities for multivariate risk processes in a Markovian environment

Guusje Delsing, Michel Mandjes+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2018

Probability and Risk Models参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、個々の事業部門が共通の環境過程によって駆動されるマルコフ変調リスクモデルにおける多次元的有限時間 ruin 確率の漸近的近似を提案する。低環境遷移レート（単一遷移近似）と高レート・高クレーム強度（拡散近似）の2つの状態を分析することで、著者らは検証を経た広範な数値実験を通じて閉形式の近似を導出し、近似の選択が遷移レートおよびクレーム強度の水準に強く依存することを示している。

ABSTRACT

This paper develops asymptotics and approximations for ruin probabilities in a multivariate risk setting. We consider a model in which the individual reserve processes are driven by a common Markovian environmental process. We subsequently consider a regime in which the claim arrival intensity and transition rates of the environmental process are jointly sped up, and one in which there is (with overwhelming probability) maximally one transition of the environmental process in the time interval considered. The approximations are extensively tested in a series of numerical experiments.

研究の動機と目的

• 依存する事業部門を有する多次元リスクモデルにおける連合 ruin 確率の計算という課題に取り組む。
• クレームの到着および強度に影響を与える共通のマルコフ過程としての環境過程を通じて、事業部門間の依存関係をモデル化する。
• 異なる環境動的特性下での有限時間 ruin 確率について、正確で閉形式の近似を構築する。
• モデルパラメータに基づいて、単一遷移近似と拡散近似のどちらを用いるべきかについて実用的な指針を提供する。
• 数値的パラメータ領域全体にわたる精度を評価する包括的な数値実験を通じて、近似を検証する。

提案手法

• 環境状態を表す連続時間マルコフ連鎖によって変調されるCramér-Lundberg過程の集合として、多次元リスク過程をモデル化する。
• クレーム到着強度と環境遷移レートが比例的に加速されるスケーリング則の下で、拡散近似を導出する。
• 時間領域内で環境過程が最大1回しか遷移しない状態のための単一遷移近似を開発し、状態別ダイナミクス下での単変数 ruin 確率を活用する。
• 弱収束の議論を用いて、スケーリングされた多次元リスク過程の極限としての拡散近似の妥当性を裏付ける。
• 初期時刻における環境状態と（まれな）単一遷移の発生を条件付きに、単一遷移近似を適用する。
• モンテカルロシミュレーションを用いて近似を検証し、数値的に計算された真の ruin 確率と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共通のマルコフ環境過程によって相関する事業部門を有する多次元リスクモデルにおいて、ruin 確率はどのように近似可能か？
• RQ2 環境過程がゆっくりと変化する（低遷移レート）場合、多次元リスク過程の漸近的性質は何か？
• RQ3 環境過程が急速に変化し、クレーム到着が頻繁である（高強度）場合、多次元リスク過程の漸近的性質は何か？
• RQ4 単一遷移近似と拡散近似が良好または不良に機能するパラメータ領域は何か？
• RQ5 低クレーム強度・高環境遷移レート状況において、独立性の仮定と本稿で提案された近似の間には、どのような差異が生じるか？

主な発見

• 環境遷移レートが低い場合、単一遷移近似は良好に機能する。これは、2回以上の遷移確率が無視できるほど小さいためである。
• 環境遷移レートとクレーム到着強度の両方が高い場合、拡散近似は正確な推定を提供する。これは、弱収束により多変量ブラウン運動にドリフト項が付加された極限に近づくためである。
• 高環境遷移レートだが低クレーム到着強度の状況では、単一遷移近似および拡散近似の両方とも良好に機能しない。
• 低クレーム強度・高遷移レート状況では、両方の専用近似が破綻するため、成分間の独立性を仮定することで多次元 ruin 確率が最もよく近似される。
• 数値的結果から、環境遷移レートを低くすることで単一遷移近似の精度が向上することが明らかになった。これは予想通りの結果である。
• クレーム到着強度が低い場合でさえ、環境遷移レートが高ければ、拡散近似の性能は著しく劣化する。