[論文レビュー] Comparison between some norm and order gauge integrals in Banach lattices

Domenico Candeloro, Anna Rita Sambucını|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、バナッハラティス値関数におけるノルム型と順序型ヘンストックおよびマクシェイン積分を比較し、特にL空間に注目している。順序積分は一般にノルム積分よりも強いが、L空間では順序ヘンストック積分がボッハナー可積分性を意味し、有界関数の場合、ゲージが可測であるとき、順序型ヘンストックおよびマクシェイン積分は同値である。

ABSTRACT

Henstock-type integrals are considered, for functions defined in a Radon measure space and taking values in a Banach lattice X considering the norm and the order structure of the space. A number of results are obtained, highlighting the differences between them, specially in the case of L-space-valued functions.

研究の動機と目的

• バナッハラティスにおけるノルム型と順序型ゲージ積分の性質および関係を比較すること。
• L空間およびM空間におけるこれらの積分の振る舞い、特に可積分性および同値性に関して調査すること。
• 順序型積分がボッハナー可積分性を意味する条件を確立すること、特にL空間において。
• ゲージが可測である場合、有界関数について順序型ヘンストックおよびマクシェイン積分が同値であることを証明すること。
• 順序積分におけるヘンストック補題の役割と、L空間におけるその結果を明確にすること。

提案手法

• タグ付きおよび可測集合を伴うゲージに基づく分割（ペロンおよびフリー）を用いて、ノルムおよび順序の意味におけるヘンストックおよびマクシェイン積分を定義する。
• コーシュの補題および点毎に非原子的測度の性質を適用して、細かい分割の存在を保証する。
• 可測ゲージを導入し、関数値の変動を小規模な集合上で振動に基づく推定によって制御する。
• (o)-リーマン可測性および(o)-列を用いて、順序構造における可積分性を特徴付ける。
• 順序積分におけるヘンストック補題を活用して、収束およびコーシー型条件を導出する。
• 振動および区間被覆に関する技術的補題を用いて、フリー分割におけるリーマン和の差を抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序型積分は、特にL空間において、ノルム型積分とどのように比較されるか？
• RQ2 順序可積分性がボッハナー可積分性を意味するのはどのような条件下か？
• RQ3 ゲージが可測である場合、有界関数について順序型ヘンストックおよびマクシェイン積分は同値か？
• RQ4 順序積分におけるヘンストック補題の役割は何か？ そして、L空間における可積分性にどのように影響するか？
• RQ5 (o)-リーマン可測性は、順序的意味における(oB)-可積分性とどのように関係するか？

主な発見

• 順序積分は一般にほとんど everywhere な等価性を保たないが、順序有界関数については除く。
• 順序ヘンストック積分はヘンストック補題を満たし、L空間における強い収束結果を可能にする。
• L空間では、順序ヘンストック積分がボッハナー可積分性を意味し、順序およびノルム可積分性の強い関係を確立する。
• 有界関数の場合、ゲージが可測であるとき、順序型ヘンストックおよびマクシェイン積分は同値であり、ノルムの場合の結果を拡張する。
• 有界関数が(o)-リーマン可測であるならば、(o)-列に基づくコーシー条件により、(oB)-可積分であることが示される。
• γ′-細いフリー分割上での2つのリーマン和の差は、5pₙ + 2Mn⁻¹で抑えられ、これは(o)-列であるため、(oB)-可積分性のコーシー条件が確認される。