[論文レビュー] Contraherent cosheaves on schemes

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、双対性の枠組みを用いて、双対性を持つ複体を備えたノエター的で、準コンパactかつ半分分離的なスキーム上で、準連接層と反自己的コシェーブの間の導来双対対応を確立する。この枠組みにより、ネーマンの特異逆像関手 $f^!$ とデリーニュの $f^+$ の明示的構成が可能となる。コーシェーブの一般化として、コターショーンモジュールのスケーマ上の局所化としての反自己的コシェーブを導入し、その構成が主たる貢献である。

ABSTRACT

Contraherent cosheaves are globalizations of contraadjusted or cotorsion modules over commutative rings obtained by gluing together over a scheme, with the colocalization functors $\operatorname{Hom}_R(S,{-})$ used for the gluing (where $S$ is the ring of functions on an affine open subscheme in $\operatorname{Spec}R$). The category of contraherent cosheaves over a scheme is a Quillen exact category with exact functors of infinite product. Over a quasi-compact semi-separated scheme or a Noetherian scheme of finite Krull dimension (in a different version - over any locally Noetherian scheme), it also has enough projectives. We construct the derived co-contra correspondence over a scheme in two forms. The "naive" one is an equivalence of the conventional derived categories of quasi-coherent sheaves and contraherent cosheaves, valid over any quasi-compact semi-separated scheme. The more sophisticated version is an equivalence between the coderived category of quasi-coherent sheaves and the contraderived category of contraherent cosheaves over a Noetherian scheme with a dualizing complex. The former point of view allows us to obtain an explicit construction of the Lipman-Neeman extraordinary inverse image functor $f^!$ for a morphism of quasi-compact semi-separated schemes $f\colon Y o X$. The latter approach provides an expanded version of the covariant Serre-Grothendieck duality theory and leads to the Hartshorne-Deligne extraordinary inverse image functor $f^!$ (which we denote by $f^+$) for a morphism of finite type $f$ between Noetherian schemes. We also construct a derived semico-semicontra correspondence, mounting the "naive" version along the fibers on top of the one depending on a dualizing complex on the base of a flat fibration. Noncommutative analogues of Noetherian stacks, affine Noetherian formal schemes, and ind-affine ind-schemes are briefly discussed in the appendices.

研究の動機と目的

• コーシェーブ構造を用いて、可換環上のコターショーンモジュールをスキーム上の層的対象へ一般化すること。
• 準コンパクトかつ半分分離的なスキーム上で、準連接層と反自己的コシェーブの間の導来双対対応を確立すること。
• 双対対応を用いて、ネーマンの特異逆像関手 $f^!$ の新しい構成を与えること。
• ノエター的で双対性を持つ複体を備えたスキームにおいて、セール–グロテンディーク双対性を反自己的コシェーブを用いてより広範な枠組みへ一般化すること。
• 半分分離的ノエター的スタック、アフィン形式的スキーム、およびインダーアフィンインディアンスキームへ理論を一般化すること。

提案手法

• 環およびコリング上のコトラモジュール理論を用いて、反自己的コシェーブをコターショーンモジュールの層的一般化として定義する。
• 無限積の関手が完全であるような、反自己的コシェーブの完全カテゴリカル構造を構成する。
• 適切なホモロジー次元を備えた複体の導来カテゴリを用いて、双対対応を適用する。
• 導来カテゴリにおけるホモトピー射影的および射影的分解を用いて、直接像および逆像関手の導来関手を定義する。
• 平坦コリングおよび双対性を持つ複体の構造を用いて、ノエター的状況での同値性を確立する。
• 無限次元ホモロジー代数の結果、特に分解およびExtの消滅を用いて、コターショーンおよび平坦性の性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換環上のコターショーンモジュールは、どのようにコシェーブ構造を用いてスキーム上の層へ一般化できるか？
• RQ2 どのようなスキームの条件が、反自己的コシェーブのカテゴリに十分な射影的対象を持つことを保証するか？
• RQ3 準コンパクトかつ半分分離的なスキームにおいて、導来双対対応を確立できるか？また、その結果として特異逆像関手に何が得られるか？
• RQ4 双対対応は、双対性を持つ複体を備えたスキームにおいて、セール–グロテンディーク双対性をどのように拡張するか？
• RQ5 ノエター的スキームの文脈において、反自己的コシェーブと特異逆像関手 $f^!$ および $f^+$ の関係は何か？

主な発見

• 準コンパクトかつ半分分離的なスキーム上の反自己的コシェーブのカテゴリは、無限積の関手が完全であるQuillen完全カテゴリである。
• 準コンパクトかつ半分分離的なスキーム上では、導来双対対応により、準連接層の導来カテゴリと反自己的コシェーブの導来カテゴリの間の同値が得られる。
• 双対対応により、準コンパクトかつ半分分離的なスキームの間の準同型写像に対して、ネーマンの特異逆像関手 $f^!$ の明示的構成が可能となる。
• 双対性を持つ複体を備えたノエター的スキームにおいて、双対対応は、共変セール–グロテンディーク双対性の拡張版をもたらし、デリーニュの $f^+$ 関手を実現する。
• 有界クルール次元 $D$ を備えたノエター的環 ${rak R}$ 上の任意の平坦 ${rak R}$-コトラモジュールの射影次元は、$D$ 以下である。また、任意の ${rak R}$-コトラモジュールのコターショーン次元も $D$ 以下に有界である。
• 任意の ${rak R}$-コトラモジュールは、コターショーン商を持つ平坦埋め込みを持ち、またコターショーン核を持つ平坦 ${rak R}$-コトラモジュールからの全射を持つ。これにより、強いホモロジー的制御が確立される。