[論文レビュー] CR-manifolds of dimension 5: A Lie algebra approach

Gregor Fels, Wilhelm Kaup|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、退化するレヴィ形式と推移的CR自己同型群をもつ5次元実解析的CR多様体を、リー代数の技法を用いて調査する。すべての局所的に一様な2-非退化例が、3次元時空における未来光錐のチューブと局所的にCR同値であることを示し、実射影空間内の一様な領域を用いて、グローバルにCR同値でないモデルを分類する。

ABSTRACT

We study real-analytic Levi degenerate hypersurfaces M in complex manifolds of dimension 3, for which the CR-automorphism group Aut(M) is a real Lie group acting transitively on M. We provide large classes of examples for such M, compute the corresponding groups Aut(M) and determine the maximal subsets of M that cannot be separated by global continuous CR-functions. It turns out that all our examples, although partly arising in different contexts, are locally CR-equivalent to the tube over the future light cone in 3-dimensional space-time.

研究の動機と目的

• 退化するレヴィ形式と推移的CR自己同型群をもつ実解析的5次元CR多様体を分類すること。
• このような多様体におけるCR自己同型群の構造とそのリー代数を特定すること。
• グローバル連続CR関数によって分離できない多様体の最大部分集合を同定すること。
• すべての2-非退化的で局所的に一様な例が、3次元時空における未来光錐のチューブと局所的に同値であることを確立すること。
• 局所的にモデルチューブ多様体と同値であるが、グローバルにCR同値でない一意なモデルを構成すること。

提案手法

• 5次元CR多様体の局所的およびグローバルなCR構造を分析するために、無限小CR自己同型のリー代数を用いる。
• 文献[6]の部分正規形を適用して、原点における超曲面の局所的分類を実行し、特に(A,ii,2)の場合に注目する。
• 部分ケイリー変換を用いて、CR多様体を光錐のチューブ上での領域として実現する。
• シンプレクティック代数と直交型代数の同型（sp(2,R) ≅ so(2,3)）を用い、チューブ構成法を高次元に一般化する。
• 局所モデルからチューブ多様体Tへの明示的な正則同相写像を構成し、CR同値性を証明する。
• 複素行列とヘルミート正定性条件を含む行列方程式を用いて、多様体上の正則ベクトル場を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化するレヴィ形式をもつ5次元CR多様体のうち、推移的CR自己同型群をもつものはどれか？
• RQ2 このような多様体におけるCR自己同型群およびそのリー代数は、どのように計算できるか？
• RQ3 C^3における2-非退化的で一様にレヴィ退化する超曲面の局所的CR構造は何か？
• RQ4 すべての局所的に一様で2-非退化的なCR多様体は、未来光錐のチューブと局所的に同値か？
• RQ5 CR多様体の、グローバル連続CR関数によって分離できない最大部分集合は何か？

主な発見

• すべての2-非退化的で局所的に一様な5次元CR多様体は、3次元時空における未来光錐のチューブTと局所的にCR同値である。
• 族(M_t)の無限小CR自己同型のリー代数は、t < 0のときsl(2,R) × su(2)、t = 0のとき非半単純代数、t > 0のときsl(2,C)に変化する。
• 光錐のチューブTは、すべてのこのような局所的に一様なCR多様体のモデルであり、レヴィ非退化の場合の球面と同様の役割を果たす。
• Tと局所的に同値であるが、グローバルにCR同値でないモデルが存在し、局所同値性がグローバル同値性を意味しないことを示している。
• 明示的な正則同相写像、たとえば部分ケイリー変換(7.4)により、特定の領域のCR構造がTの開部分集合として実現される。
• 光錐のチューブ（n+2次元時空における）上の正則ベクトル場はso(2,n+2)に同型であり、それがグローバルな一様性を確認する。