[論文レビュー] Discrete space-time

Rodolfo Gambini, Jorge Pullin|ArXiv.org|May 4, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、運動方程式ではなく作用を離散化することで離散時空を構築する一貫性のある離散化手法を提案する。この手法により制約が排除され、ユニタリで計算可能な力学が可能になる。この方法は特異点を回避し、関係的時間（relational time）を自然に実装する。また、ループ量子重力の微視的構造と接続し、数値的量子重力への道筋を提供するとともに、ブラックホール情報パラドックスの解決可能性を示唆する。

ABSTRACT

We review recent efforts to construct gravitational theories on discrete space-times, usually referred to as the ``consistent discretization'' approach. The resulting theories are free of constraints at the canonical level and therefore allow to tackle many problems that cannot be currently addressed in continuum quantum gravity. In particular the theories imply a natural method for resolving the big bang (and other types) of singularities and predict a fundamental mechanism for decoherence of quantum states that might be relevant to the black hole information paradox. At a classical level, the theories may provide an attractive new path for the exploration of issues in numerical relativity. Finally, the theories can make direct contact with several kinematical results of continuum loop quantum gravity. We review in broad terms several of these results and present in detail as an illustration the classical treatment with this technique of the simple yet conceptually challenging model of two oscillators with constant energy sum.

研究の動機と目的

• 離散時空における重力理論の制約のない一貫性のある定式化を、量子重力の応用を想定して開発すること。
• 時間の問題やユニタリティの喪失といった、正準量子重力における長年の問題を、離散的力学によって解決すること。
• 制約を保存し特異点を回避する、古典的および量子重力に対する数値的に安定で収束するアプローチを提供すること。
• 離散理論とループ量子重力の運動的枠組みとの橋渡しをすること。
• 離散的時間進化の結果が、ブラックホール情報と宇宙論的特異点に与える影響を調査すること。

提案手法

• 時間方向に作用を離散化しながら空間を連続のままにし、変分原理を用いて運動方程式を導出する。
• 有限の時空的プレートに沿ったホロノミーを用いて時間微分項を近似し、ゲージ不変性とユニタリティを保存する。
• 平行移動行列のユニタリティを強制するためのラグランジュ乗数を導入し、SU(2)ゲージ不変性を保証する。
• 微分同相変換の制約を制約として扱うのではなく、進化後に課せられる保存量として扱う。
• 物理的時計変数を用いた関係的時間により動的を定義し、正準量子重力における時間の問題を回避する。
• 量子理論においてユニタリな進化演算子を構築し、量子力学的進化を直接数値計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用の一致する離散化が、正準量子重力における制約を排除しつつ、重要な物理的対称性を保存できるか？
• RQ2 一貫性のある離散化アプローチが、離散的時空における宇宙論的特異点およびブラックホール特異点をどのように解消するか？
• RQ3 離散理論が、ヒルベルト空間とゲージ不変性を含め、ループ量子重力の運動的構造を再現できるか？
• RQ4 離散的進化スキームが、連続極限において一般相対性理論の制約を保存するか？
• RQ5 離散的重力における関係的時間フレームワークが、ブラックホール情報パラドックスに関連するデコherenceのメカニズムを提供できるか？

主な発見

• 一貫性のある離散化アプローチにより、第一種の制約を伴わない理論が得られ、量子化が簡素化され、直接的なユニタリな進化が可能になる。
• 特異点は自然に回避される。なぜなら、特異点は通常、離散的計算グリッド上に存在しないため、量子理論においてはその発生確率がゼロとなる。
• 微分同相変換の制約は制約として課されず、保存量として扱われるため、ループ量子重力の運動的構造を保ちつつ一貫した進化が可能になる。
• この方法は、数値 relativity における標準的な自由進化スキームとは異なり、制約を尊重する数値的に安定で収束する古典的進化を生み出す。
• 離散理論は関係的時間フレームワークを許容し、ユニタリティを破る可能性を示し、ブラックホール情報パラドックスに関連するデコherenceのメカニズムとしての可能性を提供する。
• 時間のみを離散化し、ホロノミーに基づく作用を用いることで、2+1次元においてループ量子重力の物理的状態空間を再現でき、連続的ループ量子化と整合性があることが確認された。