[論文レビュー] Expansion of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth Multiplicity, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化された多重フーリエ級数を用いて、5重乗の複数のストラトノヴィッチ確率積分の新規展開法を提示する。イト積分の展開を証明のための道具として用いることで、ストラトノヴィッチ積分の構造的単純性に起因する、イト積分と比較してより単純な構造を活かし、テイラー＝ストラトノヴィッチ展開を用いた確率微分方程式のより効率的な数値積分が可能になる。

ABSTRACT

This article is devoted to the expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity, based on the method of generalized multiple Fourier series. We consider the expansion of multiple Ito stochastic integrals of fifth multiplicity (based on generalized multiple Fourier series) as the tool of the proof of the expansion for multiple Stratonovich stochastic integrals. As it turned out, expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals are essentially simpler than expansions of multiple Ito stochastic integrals. The multiple Stratonovich stochastic integrals are the part of the Taylor-Stratonovich expansion. That is why the results of the article can be useful for numerical integrations of Ito or Stratonovich stochastic differential equations.

研究の動機と目的

• 5重乗の複数のストラトノヴィッチ確率積分を展開するための効率的な手法の開発。
• ストラトノヴィッチ積分の構造的単純性を活かし、より効果的な展開技術を確立すること。
• 改善されたテイラー＝ストラトノヴィッチ展開を通じて、イト型およびストラトノヴィッチ型確率微分方程式の数値積分を支援すること。
• 一般化されたフーリエ級数法を多重確率積分へ拡張することで、高次数の数値スキームの基盤を構築すること。

提案手法

• 展開のための中心的分析的枠組みとして、一般化された多重フーリエ級数を用いる。
• ストラトノヴィッチ積分の展開を正当化するため、5重乗の多重イト確率積分の展開を証明の手段として用いる。
• 直交展開を用いて、多重ストラトノヴィッチ積分をフーリエ係数の形で表現する。
• イト積分とストラトノヴィッチ積分の関係を活用し、ストラトノヴィッチの場合のより単純な形を導出する。
• 収束性と数値的安定性を保証するために、展開プロセスにおいて正規直交系を用いる。
• 5重乗積分に関連するフーリエ係数の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたフーリエ級数を用いて、5重乗の多重ストラトノヴィッチ確率積分をどのように展開できるか？
• RQ2 展開の複雑さという観点から、ストラトノヴィッチ積分の構造的利点はイト積分に比べてどのように顕著か？
• RQ3 5重乗のイト積分の展開を、ストラトノヴィッチ積分の展開を導出する有効な道具として用いることができるか？
• RQ4 この手法は、確率微分方程式の数値積分をどの程度向上させるか？
• RQ5 一般化された多重フーリエ級数は、高重複度の確率積分の表現を単純化する役割を果たすか？

主な発見

• 5重乗の多重ストラトノヴィッチ確率積分は、一般化された多重フーリエ級数を用いて効果的に展開可能である。
• ストラトノヴィッチ積分の展開は、その構造的性質に起因し、イト積分の展開よりも本質的に単純である。
• 本手法は、イト積分の展開を証明の道具として用いることで、ストラトノヴィッチ積分の展開に対する有効性を裏付けている。
• 導出された展開式は、確率微分方程式のテイラー＝ストラトノヴィッチ展開に直接応用可能である。
• 本研究の結果は、確率微分方程式の高次数の数値スキームを構築する基盤を提供する。
• 一般化されたフーリエ級数の使用により収束性が保証され、積分の実用的数値実装が可能になる。