[論文レビュー] Groupes p-divisibles, groupes finis et modules filtrés

Christophe Breuil|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、p進局所体（同一正則性ゼロ）の整数環上のp分割群の圏と、特定のクラスのフィルトレーテッド加群——具体的には、完成化された除法冪代数上の強発散的加群——の間の反同値を確立する。主な革新点は、Fontaineのp分割群および有限平坦p群の分類を、任意の分岐度eおよびp ≠ 2の場合に拡張し、シントミックトポスの技法と、フロベニウスに類似した作用素φ₁に基づく一般化されたディエュドンヌ加群理論を用いることにある。

ABSTRACT

Let k be a perfect field of characteristic p>0. When p>2, Fontaine and Laffaille have classified p-divisibles groups and finite flat p-groups over the Witt vectors W(k) in terms of filtered modules. Still assuming p>2, we extend these classifications over an arbitrary complete discrete valuation ring A with unequal characteristic (0,p) and residue field k by using "generalized" filtered modules. In particular, there is no restriction on the ramification index. In the case k is included in \bar{F}_p (and p>2), we then use this new classification to prove that any crystalline representation of the Galois group of Frac(A) with Hodge-Tate weights in {0,1} contains as a lattice the Tate module of a p-divisible group over A.

研究の動機と目的

• OK上のp分割群および有限平坦p群のFontaine分類を、低分岐度（e ≤ p−2）の状況を超えて拡張すること。
• ガロア表現に依存しない、フィルトレーテッド加群とp分割群の間の体系的かつ内因的な構成法を提供すること。
• OK上のp分割群の圏と強発散的フィルトレーテッド加群の圏の完全な反同値を確立すること。
• k ⊆ F_pおよびp ≠ 2の状況において、Fontaineのクリスタリン表現に関する予想（ホッジ＝トーラー重量{0,1}）を証明すること。
• 高分岐度における非アーベル的および非忠実なファイバー関手の問題を扱うために、シントミックトポスおよび除法冪代数を用いた新しい枠組みを構築すること。

提案手法

• W(k)上の完成化された除法冪代数Sを構成し、S上のフィルトレーションFil¹SおよびS上の加群へのフロベニウスに類似した作用素φ₁を定義する。
• 一般化されたフィルトレーテッド加群(M, Fil¹M, φ₁)を導入する。ここでMはS上の有限生成加群であり、Fil¹MはFil¹S·Mを含み、φ₁: Fil¹M → Mは半線形写像であり、その像がMを生成する。
• Spec(OK)上のシントミックトポスを用いてφ₁作用素を定義・操作し、Berthelot-Breen-Messingのクリスタリンコhomologyの道具を活用する。
• 各フィルトレーテッド加群(M, Fil¹M, φ₁)に対して、シントミック・サイトに関連する自然な群の層を canonical に構成し、それがOK上の有限平坦群スキームによって代表可能であることを証明する。
• デヴィッサージュを用いて、OK上の有限平坦p-torsion群スキームからこのようなフィルトレーテッド加群への関手が完全かつ本質的に全射であることを証明する。
• 分類を応用し、Fontaineの予想を証明する：p進ガロア表現がホッジ＝トーラー重量{0,1}のクリスタリン表現であることは、OK上のp分割群から生じる場合に限り成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FontaineのOK上のp分割群分類を、e ≤ p−2およびp ≠ 2の状況を超えて拡張することは可能か？
• RQ2 ガロア表現に依存せずに、OK上の有限平坦p群からその構造を捉えることができる、自然かつ内因的なフィルトレーテッド加群の構成法は存在するか？
• RQ3 高分岐度において、一般ファイバー関手が完全関手でないという問題を、p分割群の分類においてどのように克服できるか？
• RQ4 OK上のp分割群に関連するフィルトレーテッド加群の正確な構造は何か？また、それが強発散的であるための条件は何か？
• RQ5 任意の分岐度に対して、OK上のp分割群の全圏とフィルトレーテッド加群の間の反同値は、拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、p ≠ 2の場合に、OK上のp分割群の圏と強発散的フィルトレーテッド加群の圏の完全な反同値を確立する。
• 分類は、Fontaineの以前の結果（e ≤ p−2）を、任意の分岐度eにまで拡張し、p分割群から有限平坦p群へも拡張する。
• フィルトレーテッド加群はシントミックトポスを用いて構成され、φ₁作用素はベーシェィングの逆写像を符号化し、群スキームのmod p²還元に依存する。
• 反同値は二段階のプロセスにより証明される：フィルトレーテッド加群に対してシントミック・サイト上の層を関連付け、クリスタリンコhomologyを用いて有限平坦群スキームからフィルトレーテッド加群を構成する。
• この結果により、ホッジ＝トーラー重量{0,1}のp進ガロア表現がクリスタリンであることは、OK上のp分割群から生じる場合に限り成り立つことが示され、Fontaineの予想がこの状況で証明される。
• フィルトレーテッド加群の構成は内因的であり、ガロア表現に依存しない。高分岐度における一般ファイバー関手の完全関手でない問題を解決する。