[論文レビュー] Limits and colimits of quantaloid-enriched categories and their distributors

Lili Shen, Walter Tholen|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の小さな量的圏 Q に対して、小さな Q-圏と Q-関手の圏、および Q-分配者と Q-Chu 変換の圏が、両方とも全完備かつ余完備であることを確立する。Q-Chu 空間の圏に生成集合の存在を示すことにより、著者たちは両圏がすべての小さな極限と余極限、包括して大きな図式によって索引づけられたものも含めて、すべての極限と余極限を有することを示している。これにより、古典的な小さな制約を超えて、量的圏に倣った構造の圏的完全性の性質が拡張される。

ABSTRACT

It is shown that, for a small quantaloid Q, the category of small Q-categories and Q-functors is total and cototal, and so is the category of Q-distributors and Q-Chu transforms.

研究の動機と目的

• 小さな量的圏 Q に対して、 enrich された圏における極限と余極限の存在を調査すること。
• Q-圏と Q-関手の圏が全完備かつ余完備であることを確立すること。
• Q-分配者（Q-Chu 空間）と Q-Chu 変換の圏が、すべての小さな極限と余極限を有することを示すこと。
• Q-Chu に生成集合を構成することで、全完備性および余完備性の証明を可能にすること。

提案手法

• Q-Cat が Set/ob Q 上でトポロジカルであることを証明し、これにより小さな極限と余極限の明示的構成が可能になる。
• 小さな図式に対して、構造付き錐の初期の持ち上げを用いて、Q-Chu における極限と余極限を記述する。
• s,t ∈ ob Q に対して、ηs: ∅ →◦ Ds および λt: {t} →◦ bC である対象を用いて、Q-Chu に生成集合を構成する。
• 生成集合の存在を活用し、命題 2.6 を用いて Q-Chu が全完備かつ余完備であることを証明する。
• Q-Chu におけるモノモルフィズムとエピモルフィズムが、Q-Cat における単射および全射 Q-関手に対応することを確認し、wellpoweredness を保証する。
• 全完備性と余完備性を両方確立することで、Q-Chu が超完備かつ超余完備であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな量的圏 Q に対して、小さな Q-圏と Q-関手の圏 Q-Cat はすべての小さな極限と余極限を有するか？
• RQ2 Q-分配者と Q-Chu 変換の圏 Q-Chu が全完備かつ余完備であることが示せるか？
• RQ3 Q-Chu における極限と余極限の構造は何か？ そして、それらはどのように明示的に記述できるか？
• RQ4 Q-Chu に生成集合が存在するか？ その場合、それが全完備性および余完備性をどのように示唆するか？
• RQ5 Q-Chu の圏的性質は、Q-Cat と比較して、完備性および余完備性の観点でどのように異なるか？

主な発見

• Q-Cat は Set/ob Q 上でトポロジカルであるため、すべての小さな極限と余極限を有することが示唆される。
• Q-Chu は全完備かつ余完備であるため、すべての小さな極限と余極限を有する。これは、大きな図式によって索引づけられたものも含む。
• Q-Chu における生成集合は、{ηs: ∅ →◦ Ds | s ∈ ob Q} ∪ {λt: {t} →◦ bC | t ∈ ob Q} として構成され、ここで Ds は Q-Cat の生成集合から得られ、bC はプレシャーフカテゴリの直積である。
• Q-Chu に生成集合が存在することは、Q-Chu が全完備かつ余完備であることを示唆する。
• 結果として、Q-Chu は超完備かつ超余完備である。これは、すべての小さなおよび大きな極限と余極限を有することを意味する。
• これらの結果は、Ord や Met といった古典的な完備性の性質を、より広範な量的圏に倣った圏およびその分配者への一般化を可能にする。