[論文レビュー] Linear Response Theory for Random Schrödinger Operators and Noncommutative Integration

Nicolas Dombrowski, François Germinet|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非可換 L^p 空間を用いて、不規則な量子系における電気伝導度の Kubo 公式を厳密かつ体系的に導出する。従来の手法よりも明確な数学的枠組みを提供する。フェルミ準位が局在的スペクトル領域にある場合、量子ホール効果における Kubo-Sträta 公式が回復され、磁場を伴うランダム・シュレーディンガー作用素の文脈で線形応答理論が正当化される。

ABSTRACT

We consider an ergodic Schrödinger operator with magnetic field within the non-interacting particle approximation. Justifying the linear response theory, a rigorous derivation of a Kubo formula for the electric conductivity tensor within this context can be found in a recent work of Bouclet, Germinet, Klein and Schenker. If the Fermi level falls into a region of localization, the well-known Kubo-Streda formula for the quantum Hall conductivity at zero temperature is recovered. In this review we go along the lines of but make a more systematic use of noncommutative Lp-spaces, leading to a somewhat more transparent proof.

研究の動機と目的

• 磁場を伴う不規則な量子系における電気伝導度の線形応答理論を数学的に厳密に導出すること。
• 非可換 L^p 空間を体系的に用いることで、先行研究（BoGKS）の数学的枠組みを簡素化・明確化すること。
• 時間依存電場への拡張を含め、交流伝導度をカバーし、絶対零度における伝導度テンソルの存在を確立すること。
• フェルミエネルギーが局在的スペクトル領域にある場合に、量子ホール効果の Kubo-Sträta 公式が回復されることを示すこと。

提案手法

• ランダム・シュレーディンガー系における共変可測作用素を扱うために、非可換 L^p 空間とフォン・ノイマン代数に基づく形式的枠組み。
• アディアバティックにスイッチされた電場下での密度行列の時間発展を表すために、Duhamel 公式の使用。
• 零電場強度における電場微分による電流演算子の導出。
• アディアバティック極限における伝導度テンソルの計算に、スペクトル定理とリゾルベント技法の応用。
• フォン・ノイマン代数上のトレース $τ$ を用いて、スペクトル射影とその微分の交換子を含むトレースとして伝導度を定義。
• L^p 収束および強作用素位相における収束の確立により、アディアバティック極限および最終的な Kubo 公式の正当化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム・シュレーディンガー作用素における電気伝導度の線形応答理論は、非可換積分を用いて厳密に導出可能か？
• RQ2 非可換 L^p 空間の使用は、Kubo 公式の導出における数学的構造をどのように簡素化・明確化するか？
• RQ3 導出された Kubo 公式が、量子ホール効果の Kubo-Sträta 公式に還元される条件は何か？
• RQ4 時間依存電場、特に交流伝導度領域における伝導度テンソルの挙動はいかなるものか？
• RQ5 局在的系の文脈において、アディアバティック極限を厳密に正当化し、有限な伝導度を導けるか？

主な発見

• 非可換 L^p 空間を用いた Kubo 公式の電気伝導度テンソルに対する厳密な導出がなされ、従来の手法よりも明確な証明が得られた。
• 伝導度のアディアバティック極限が存在し、絶対零度における直接伝導度の標準的表現を導くことが示された。
• フェルミエネルギーがスペクトルの局在的領域にある場合、導出された公式は、量子ホール効果の Kubo-Sträta 公式に還元される。
• 交流伝導度は、公式におけるリゾルベントを修正することで得られ、周波数がゼロに近づく極限は既知の手法により回復可能である。
• 伝導度テンソルは、スペクトル射影とその微分の交換子を含むトレースとして表現される：$\sigma_{jk}^{(E_F)} = -i\mathcal{T}\left\{P^{(E_F)}\left[\partial_j P^{(E_F)}, \partial_k P^{(E_F)}\right]\right\}$。
• アディアバティック極限の収束は、L^2 における強作用素収束および Liouvillian $\mathcal{L}_2$ のスペクトル理論を用いて正当化された。