[論文レビュー] On the integrability of subalgebroids

Ieke Moerdijk, J. Mrčun|ArXiv.org|Jun 28, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リー群準のリー代数の部分代数的が群準の部分群に統合可能となる条件を調査する。葉層理論を用いて、部分代数的に関連する不変葉層の自明なホロノミーが、単射埋め込みによる統合を保証することを示し、横断的完備性が像の閉包がリー部分群に準ずる性質を保証することを示す。主たる貢献は、古典的な群の場合を越えて部分代数的の統合可能性を特徴づける葉層理論的基準を提供することにある。

ABSTRACT

Let G be a Lie groupoid with Lie algebroid g. It is known that, unlike in the case of Lie groups, not every subalgebroid of g can be integrated by a subgroupoid of G. In this paper we study conditions on the invariant foliation defined by a given subalgebroid under which such an integration is possible. We also consider the problem of integrability by closed subgroupoids, and we give conditions under which the closure of a subgroupoid is again a subgroupoid.

研究の動機と目的

• リー群準のリー代数の部分代数的が、単なる埋め込み部分群ではなく、群準の部分群に統合可能となる条件を特定すること。
• 古典的なリー理論の結果（例えば、埋め込み部分群の閉包が部分群となること）を、このような性質が常に成り立たない場合があるリー群準の文脈に拡張すること。
• 統合写像の像が閉じている条件を特定し、その閉包がリー部分群に準ずる条件を同定すること。
• 以降の論文における、より大きな群準における部分代数的を閉じた部分群に統合するための基盤を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、周囲のリー群準による作用を通じて、リー代数の各部分代数的に対し右不変葉層を関連付ける。
• この葉層のホロノミーを主要な不変量として用いる：自明なホロノミーが保証されれば、部分代数的の単射埋め込みによる統合が存在する。
• 葉層の横断的完備性を用いて、統合写像の像の閉包がリー部分群に準ずる性質を保証する。
• 特に単調群準の場合に、葉層の葉における経路の持ち上げを用いて統合写像を定義する。
• 群準のねじれ積の概念を用いて、単調部分群準の閉包を、その安定化群の閉包を用いて記述する。
• 葉層理論およびリー理論の結果を応用し、特に例ではマウラー＝カルタン形式や平坦接続を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群準のリー代数の部分代数的が、単射埋め込みを介して群準の部分群に統合可能となる条件は何か？
• RQ2 このような統合写像の像の閉包が、周囲の群準のリー部分群に準ずる条件は何か？
• RQ3 部分代数的に関連する不変葉層のホロノミーが、部分群への統合可能性に与える影響は何か？
• RQ4 葉層の横断的完備性が、部分代数的の閉じた部分群への統合可能性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 単調部分群準の閉包は、安定化群の閉包と群準作用を用いて明示的に記述可能か？

主な発見

• 部分代数的が群準への単射埋め込みとして統合可能であるための必要十分条件は、関連する右不変葉層のホロノミーが自明であることである。
• 部分代数的に関連する葉層が横断的に完備であれば、統合写像の像は閉じており、その閉包はリー部分群に準ずる。
• 統合写像の像が閉じていることは、統合写像が埋め込みであることに同値である。
• 単調部分群準の場合、閉包は元の部分群準とその安定化群の閉包のねじれ積として記述可能である。
• simply connected なリー群がマウラー＝カルタン形式により作用する場合、部分代数的の統合により得られる部分群は、安定化群の閉包上の共役作用を用いて構成される閉包を持つ。
• 本研究の結果は、古典的なリー群の結果を群準の文脈に一般化する葉層理論的基準を提供する。