[論文レビュー] Operads, modules and topological field theories

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、操作の代数上のモジュールの一般理論を展開し、そのようなモジュールが操作の右モジュール圏における結合的代数に一致することを示している。多様体および bordism によってインデックスづけられたモジュールの圏に関手的構造を構成し、コボルディズムの ∞-操作から ∞-圏の ∞-操作への写像を導き、これにより \mathscr{E}_d -代数に対する要因化ホモロジーを用いたトポロジカル量子場理論が実現される。

ABSTRACT

In this paper, we describe a general theory of modules over an algebra over an operad. We also study functors between categories of modules. Specializing to the operad E_d of little d-dimensional disks, we show that each (d-1)-manifold gives rise to a theory of modules over E_d-algebras and each bordism gives rise to a functor from the category defined by its incoming boundary to the category defined by its outgoing boundary. We describe how to assemble these categories into a map from a certain operad to the operad of (infinity)-categories.

研究の動機と目的

• 与えられた操作 \mathscr{O} の代数上の「妥当な」すべてのモジュールの概念を分類し、それらが右 \mathscr{O} -モジュール圏における結合的代数に一致することを示すこと。
• モデル圏と単体的操作を用いて、モジュール圏上の操作のホモトピー的整合性の高いフレームワークを構築すること。
• (d-1) -次元多様体と \mathscr{E}_d -代数上のモジュール圏との間、およびボルディズムとそのような圏間の関手との間の対応を確立すること。
• コボルディズム関連の ∞-操作から ∞-圏の ∞-操作への写像を定義し、要因化ホモロジーを用いてトポロジカル量子場理論を実現すること。
• ∞-圏を用いるのではなくモデル圏技術を用いて、Lurieの \mathscr{E}_d -モノイダル構造に関する結果を \mathscr{E}_d -代数上のモジュール圏に一般化すること。

提案手法

• 右 \mathscr{O} -モジュールにおける結合的代数を対象とし、射は双モジュールおよび弱同値であるようなモルタ操作 \mathscr{M}or(\mathscr{O}) を導入する。
• モデル圏の単体的操作を構成し、これにより \mathscr{O} からこの操作への写像を通じて、モデル圏における \mathscr{O} -代数を定義する。
• Rezkのナーヴ構成を用いてモデル圏に完全なセガール空間を関連させ、理論のホモトピー的整合性を保証する。
• \mathscr{O} -代数上の P -型モジュール圏にモデル構造を導入し、ホモトピー的代数が可能になるようにする。
• コボルディズム圏に関連する ∞-操作 f\widehat{\mathscr{C}ob}_d から ∞-圏の ∞-操作への関手を定義し、これにより場の理論を符号化する。
• 要因化ホモロジーを用いて、 \mathscr{E}_d -代数に対して、(d-1)-次元多様体に対応するモジュール圏およびボルディズムに対応する関手を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた操作 \mathscr{O} の代数上のモジュール理論の完全な分類は何か？
• RQ2 どのようにして、 \mathscr{O} -代数上のモジュール圏にホモトピー的整合性のあるモノイダルまたは操作的構造を構築できるか？
• RQ3 要因化ホモロジーを用いて、多様体にモジュール圏を割り当て、ボルディズムに関手を割り当てることで、トポロジカル量子場理論を構成できるか？
• RQ4 モデル圏における \mathscr{O} -代数の理論は、特に \mathscr{E}_d -代数の文脈において、∞-圏的構成とどのように関係するか？
• RQ5 モルタ操作は、モジュールの形状とそれに関連する関手を整理するために果たす役割は何か？

主な発見

• \mathscr{O} -代数上のモジュールは、右 \mathscr{O} -モジュール圏における結合的代数によって分類され、それぞれの代数が異なる「形状」のモジュールを定義する。
• \mathscr{O} -代数上の P -型モジュール圏は、明確に定義されたモデル構造を備えており、ホモトピー的解析に適している。
• (d-1)-次元多様体およびボルディズムにモデル圏を関手的に割り当てる構成がなされ、合成と整合的である。
• 得られた構造は、 f\widehat{\mathscr{C}ob}_d から ∞-圏の ∞-操作への ∞-操作の写像であり、トポロジカル量子場理論を実現する。
• \mathscr{E}_d -代数に対して、理論は Lurie の左モジュール圏における \mathscr{E}_d -モノイダル構造に関する結果を回復し、一般化する。
• 構成はホモトピー的に整合的である：操作の弱同値が、モジュール圏上でクイレン同値を誘導し、ホモトピー的不変性を保証する。