[論文レビュー] Quasi-Topological Gauged Sigma Models, The Geometric Langlands Program, And Knots

Meng-Chwan Tan|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 65被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、カルタン部分群をゲージ群とする旗多様体上の(0,2)擬トポロジカルゲージ化スモールモデルを構築し、そのチャーラル代数がねじれがち微分作用素（TCDO）を実現することを示している。T双対性を用いて、単連結で単純な複素リー群に対する幾何学的ラングランズ対応の物理的導出がなされ、ヘッケ固有層が相関関数と関連し、リンク不変量が量子D加群およびラングランズ双対性と結びつく。

ABSTRACT

We construct and study a closed, two-dimensional, quasi-topological (0,2) gauged sigma model with target space a smooth G-manifold, where G is any compact and connected Lie group. When the target space is a flag manifold of simple G, and the gauge group is a Cartan subgroup thereof, the perturbative model describes, purely physically, the recently formulated mathematical theory of "Twisted Chiral Differential Operators". This paves the way, via a generalized T-duality, for a natural physical interpretation of the geometric Langlands correspondence for simply-connected, simple, complex Lie groups. In particular, the Hecke eigensheaves and Hecke operators can be described in terms of the correlation functions of certain operators that underlie the infinite-dimensional chiral algebra of the flag manifold model. Nevertheless, nonperturbative worldsheet twisted-instantons can, in some situations, trivialize the chiral algebra completely. This leads to a spontaneous breaking of supersymmetry whilst implying certain delicate conditions for the existence of Beilinson-Drinfeld D-modules. Via supersymmetric gauged quantum mechanics on loop space, these conditions can be understood to be intimately related to a conjecture by Hohn-Stolz [1] regarding the vanishing of the Witten genus on string manifolds with positive Ricci curvature. An interesting connection to Chern-Simons theory is also uncovered, whence we would be able to (i) relate general knot invariants of three-manifolds and Khovanov homology to "quantum" ramified D-modules and Lagrangian intersection Floer homology; (ii) furnish physical proofs of mathematical conjectures by Seidel-Smith [2] and Gaitsgory [3, 4] which relate knots to symplectic geometry and Langlands duality, respectively.

研究の動機と目的

• 旗多様体にカルタン部分群をゲージ群とする(0,2)擬トポロジカルゲージ化スモールモデルを構築し、物理的枠組みの中で数学的理論であるねじれがち微分作用素（TCDO）を実現すること。
• T双対性およびチャーラル代数構造を用いて、単連結で単純な複素リー群に対する幾何学的ラングランズ対応の物理的解釈を確立すること。
• 非摂動的ワールドーシートインスタントンが自発的スーパicensymmetryの破れに及ぼす影響と、Beilinson-Drinfeld D加群の存在に及ぼす条件を関連させること。
• Chern-Simons理論を通じて、3次元多様体におけるリンク不変量およびKhovanovホモロジーを、量子分岐D加群およびラグランジュアン交差Floerホモロジーに結びつけること。
• Seidel-SmithおよびGaitsgoryが提起した数学的予想（リンク、シンプレクティック幾何学、ラングランズ双対性の関係）に対する物理的証明を提供すること。

提案手法

• カルタン部分群をゲージ群とする旗多様体上の非動的ゲージ化(0,2)ねじれスモールモデルを構築し、その摂動的領域からチャーラル代数を導出する。
• モデルのチャーラル代数を旗多様体上のTCDOの層と特定し、この数学的構造の物理的実現を確立する。
• 一般化されたT双対性を適用し、元のモデルのチャーラル代数をラングランズ双対群のものと関連づけ、W代数および臨界レベルにおけるアフィンKac-Moody代数をマッピングする。
• モデルの無限体積極限を解析し、Chern-Simons理論を回復させ、相関関数とリンク不変量、量子群表現を結びつける。
• ループ空間上のスーパーセンシティブゲージ量子力学を用いて、非摂動的インスタントン効果をチャーラル代数構造の障害として解釈し、Wittenの特徴関数消失予想と関連づける。
• チャーラル演算子の相関関数をヘッケ固有層およびヘッケ変形に関連づけ、T双対性が幾何学的ラングランズ対応を古典的極限（c → 0）に写像することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして(0,2)擬トポロジカルゲージ化スモールモデルが、物理的枠組みの中でねじれがち微分作用素（TCDO）の数学的構造を実現できるか？
• RQ2 T双対性は、単連結で単純な複素リー群に対するモデルのチャーラル代数と幾何学的ラングランズ対応をどのように結びつけるか？
• RQ3 非摂動的ワールドーシートねじれインスタントンはチャーラル代数にどのような影響を及ぼし、Beilinson-Drinfeld D加群の存在にどのような含意を持つのか？
• RQ4 3次元多様体におけるリンク不変量およびKhovanovホモロジーは、モデルの相関関数およびChern-Simons理論を通じて物理的に解釈可能か？
• RQ5 このモデルは、幾何学的ラングランズ対応の古典的極限（c → 0）がラングランズ双対群の表現に対応することを示す物理的証明を提供するか？

主な発見

• カルタン部分群をゲージ群とする旗多様体上の(0,2)ゲージ化スモールモデルの摂動的チャーラル代数は、旗多様体上のねじれがち微分作用素（TCDO）の層と同型である。
• T双対性により、モデルのチャーラル代数がラングランズ双対群のものに写像され、幾何学的ラングランズ対応がチャーラル代数および相関関数の双対性として実現される。
• R → 0 の極限において、モデルの相関関数は、正則バンドルのモジュライ空間上の古典的分岐D加群に対応し、古典的幾何学的ラングランズ対応が確立される。
• 非摂動的ワールドーシートねじれインスタントンはチャーラル代数を自明化し、自発的スーパicensymmetryの破れを引き起こし、Beilinson-Drinfeld D加群の存在に微妙な条件を課す。
• モデルにより、3次元多様体のリンク不変量が量子分岐D加群およびラグランジュアン交差Floerホモロジーに結びつき、相関関数がUq(LgC)による量子群表現を実現する。
• 本稿は、Gaitsgoryの予想である、幾何学的ラングランズ対応の古典的極限（c → 0）がラングランズ双対群LGCの表現に対応することの物理的証明を提供する。