[論文レビュー] Quaternionic quantum mechanics allows non-local boxes

Matthew McKague|ArXiv.org|Nov 9, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可換なクaternion演算と時系列順のユニタリ変換を用いたプロトコルを構築することで、クォータニオン量子力学が標準量子力学で許容されるよりも強い非局所的相関（非局所的ボックス）を支持することを示している。主な結果は、このような非局所性がすべてのブール関数に対して自明な通信複雑性を意味することであり、非自明な通信複雑性または情報因果性の仮定のもとではクォータニオン量子力学を排除することを示している。

ABSTRACT

We consider non-local properties of quanternionic quantum mechanics, in which the complex numbers are replaced by the quaternions as the underlying algebra. Specifically, we show that it is possible to construct a non-local box. This allows one to rule out quaternionic quantum mechanics using assumptions about communication complexity or information causality.

研究の動機と目的

• 複素数の振幅をクォータニオンに置き換えるクォータニオン量子力学が、標準量子力学よりも強い非局所的相関を支持できるかどうかを調査すること。
• 非局所的ボックス—非信号的ではあるが量子的でない相関を示す系—がクォータニオンの枠組み内で構築可能かどうかを特定すること。
• クォータニオン量子力学における非局所的ボックスの存在が、通信複雑性の上限や情報因果性などの既知の物理的原則と矛盾するかどうかを評価すること。
• その非局所的性質を複素数量子力学および古典理論と比較することで、クォータニオン量子力学の物理的妥当性を明確にすること。

提案手法

• クォータニオンヒルベルト空間内に、|ψ⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 のように双粒子もつれ状態を構築する。
• 局所的入力 a および b に基づき、クォータニオン上で定義された時系列順のユニタリ操作 R_i および R_j を二つの部分系に適用する。
• クォータニオンの非可換性（例：ij = k, ji = -k）を用いて、操作の順序に応じた異なる相対位相を生成する。
• 相対位相を検出するために測定基底 |+⟩ および |−⟩ を定義し、相関的または反相関的な測定結果を得る。
• 得られた出力ビット列 x および y を分析し、すべての入力ペア (a,b) に対して x ⊕ y = ab を満たすことを確認する。これにより非局所的ボックスの条件を満たす。
• 既知の通信複雑性および情報因果性の結果を活用し、このような非局所的ボックスの存在が、標準的な物理的原則と物理的に不適合であると主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンの非可換性を考慮すると、クォータニオン量子力学内で非局所的ボックスを構築可能か？
• RQ2 クォータニオン量子力学における非局所的ボックスの存在が、すべてのブール関数に対して自明な通信複雑性を意味するか？
• RQ3 クォータニオンの非可換構造が、標準的な複素数量子力学における非局所的相関よりも強い非局所的相関を可能にする仕組みは何か？
• RQ4 非自明な通信複雑性または情報因果性の仮定を用いて、クォータニオン量子力学における非局所性を排除できるか？
• RQ5 非局所的相関に基づいて、クォータニオン量子力学と標準量子力学を根本的に区別する物理的原理は存在するか？

主な発見

• 時系列順のクォータニオンユニタリ操作 R_i および R_j を用いることで、クォータニオン量子力学内で非局所的ボックスを明示的に構築可能である。
• |00⟩ および |11⟩ 状態間の相対位相は、操作の順序に応じて −k または +k に変化し、これにより測定結果が相関的または反相関的になる。
• すべての入力ペア (a,b) に対して x ⊕ y = ab を達成するため、非局所的ボックスの定義を満たす。
• このような非局所的ボックスの存在は、この枠組みにおいてすべてのブール関数が自明な通信複雑性を持つことを意味する。
• この結果は、クォータニオン量子力学が非自明な通信複雑性や情報因果性といった、古典的および量子理論で成立する物理的原則と不適合であることを示唆する。
• したがって、本論文は、通信複雑性または情報因果性という物理的原理を提示し、クォータニオン量子力学を物理的理論として成立させない。