[論文レビュー] Set valued integrability in non separable Fréchet spaces and applications

Luisa Di Piazza, Valeria Marraffa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は非可分なフレシェ空間における集合値積分可能性理論を確立し、可測な多価関数のクラスの同値性を証明するとともに、ペティス積分可能性を特徴づけている。これらの結果を応用して、カクタニの不動点定理を用いてボルテラ積分包含の解の存在を示しており、従来の研究を非可分かつノルム化不能な無限次元設定へと拡張しており、微分包含および偏微分方程式に不可欠な設定をカバーする。

ABSTRACT

We focus on measurability and integrability for set valued functions in non-necessarily separable Fréchet spaces. We prove some properties concerning the equivalence between different classes of measurable multifunctions. We also provide useful characterizations of Pettis set-valued integrability in the announced framework. Finally, we indicate applications to Volterra integral inclusions.

研究の動機と目的

• 可分性の古典的仮定が成り立たない非可分フレシェ空間における、可測かつ可積分な多価関数の包括的理論の構築。
• 局所凸空間における集合値可測性の異なる概念の間の関係を明確にし、同値性を確立すること。
• 非可分フレシェ空間におけるペティス集合値積分可能性の新しい特徴づけを提供すること。
• 発展させた理論を応用して、無限次元設定におけるボルテラ積分包含の解の存在を証明すること。
• 微分包含の適用範囲を、偏微分方程式や無限次元常微分方程式系に共通する非可分フレシェ空間へと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、可算個のセミノルムの族によるフレシェ空間の射影的極限構造を用いて、位相および距離（特に閉凸集合上のハウスドルフ距離を含む）を定義する。
• 弱位相を用いて可測な多価関数を定義し、セミノルムに基づく超過および収束条件を通じてペティス積分可能性と関連付ける。
• 適切な条件下で、集合値関数に対する一般化されたペティス可測性定理を証明し、強可測性と弱可測性の同値性を確立する。
• 双対空間および極集合を用いて、一様可積分性およびセミノルムにおける収束を用いてペティス積分可能性を特徴づける。
• ボルテラ包含の存在結果は、連続関数上の多価作用素を構成し、カクタニの不動点定理を適用することで得られる。
• 等連続性およびフレシェ空間内での相対コンパクト性を用いて、アスcoliの定理により解集合のコンパクト性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 値が非可分フレシェ空間にある多価関数がペティス可積分であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 非可分フレシェ空間において、集合値可測性の異なる概念（例えば、弱、強、バーキホフ）はどのように関係しているか？
• RQ3 ペティス可測性定理は、非可分フレシェ空間における集合値関数へと拡張可能か？
• RQ4 非可分フレシェ空間におけるボルテラ積分包含が連続解を持つための条件は何か？
• RQ5 この無限次元設定において、ボッハラー積分可能性、ペティス積分可能性、および擬似微分可能性の関係は何か？

主な発見

• 本稿は、非可分フレシェ空間におけるさまざまな可測多価関数クラスの同値性を確立し、古典的結果を非可分設定へ一般化している。
• 非可分バナッハ空間に対しても有効な、集合値関数向けのペティス可測性定理の新バージョンを証明している。
• 双対空間および極集合を用いて、一様可積分性およびセミノルムにおける収束を用いて、多価関数のペティス積分可能性を特徴づけている。
• ボルテラ積分包含の解集合が空でなく、コンパクトかつ等連続であることが示され、カクタニの不動点定理により解の存在が保証される。
• 解は比較的弱い仮定のもとで存在する：カーネルのペティス可積分性および多価関数のハウスドルフ距離における上半連続性。
• 擬似微分を用いた微分包含への応用により、連続関数空間内に少なくとも1つの擬似微分可能解が存在することが得られる。