[논문 리뷰] A Fractional Subgrid-scale Model for Turbulent Flows: Theoretical Formulation and a Priori Study

Mehdi Samiee, Ali Akhavan-Safaei외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 22.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 66인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비정상적이고 비가우시안적인 비국소적 하위격자 스케일(SGS) 응력의 특성을 모델링하기 위해 레비-스테이블 분포를 사용하여 평형 분포 함수를 모델링함으로써, 대류형 난류 흐름의 대규모 난류 시뮬레이션(Large Eddy Simulation, LES)을 위한 분수계수 하위격자 스케일(SGS) 모델을 제안한다. 이는 비국소적이고 비가우시안적인 SGS 응력을 포괄하는 분수계수 라플라시안 연산자 $(-\Delta)^{\alpha}$ 를 도출한다. 모델의 유일한 매개변수인 $\alpha$ 는 필터 너비와 레이놀즈 수에 따라 달라지며, 동일한 흐름에서의 비모의 분석 결과는 고전적 모델 대비 향상된 예측 성능을 보여준다.

ABSTRACT

Coherent structures/motions in turbulence inherently give rise to intermittent signals with sharp peaks, heavy-skirt, and skewed distributions of velocity increments, highlighting the non-Gaussian nature of turbulence. That suggests that the spatial nonlocal interactions cannot be ruled out of the turbulence physics. Furthermore, filtering the Navier-Stokes equations in the large eddy simulation of turbulent flows would further enhance the existing nonlocality, emerging in the corresponding subgrid scale fluid motions. That urges the development of new nonlocal closure models, which respect the corresponding non-Gaussian statistics of the subgrid stochastic motions. To this end and starting from the filtered Boltzmann equation, we model the corresponding equilibrium distribution function with a extit{Lévy}-stable distribution, leading to the proposed fractional-order modeling of subgrid-scale stresses. We approximate the filtered equilibrium distribution function with a power-law term, and derive the corresponding filtered Navier-Stokes equations. Subsequently in our functional modeling, the divergence of subgrid-scale stresses emerges as a single-parameter fractional Laplacian, $(-Δ)^α(\cdot)$, $α\in (0,1]$, of the filtered velocity field. The only model parameter, i.e., the fractional exponent, appears to be strictly depending on the filter-width and the flow Reynolds number. We furthermore explore the main physical and mathematical properties of the proposed model under a set of mild conditions. Finally, the introduced model undergoes extit{a priori} evaluations based on the direct numerical simulation database of forced and decaying homogeneous isotropic turbulent flows at relatively high and moderate Reynolds numbers, respectively. Such analysis provides a comparative study of predictability and performance of the proposed fractional model.

연구 동기 및 목표

• 고전적 가우시안 기반 모델이 충분히 포괄하지 못하는 난류 흐름에서의 하위격자 스케일(SGS) 운동의 비가우시안성, 간헐성, 비국소성 특성을 다루기 위해.
• SGS 응력 폐쇄에서 국소성, 마르코프성, 가우시안 통계를 가정하는 전통적 LES 모델의 한계를 극복하기 위해.
• 필터링된 볼츠만 방정식과 통계역학 원리에 기반한 물리적으로 일관된 비국소적 SGS 모델을 개발하기 위해.
• 레비-스테이블 분포와 분수계수 연산자 간의 이론적 연관성을 난류 모델링에 연결하는 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 강력한 비모의 분석을 통해 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터베이스를 기반으로 한 강력한 비모의 분석을 통해 모델의 예측 능력을 검증하기 위해.

제안 방법

• 레비-스테이블 분포를 사용하여 평형 분포 함수를 모델링함으로써, 필터링된 볼츠만 방정식에서 필터링된 나비에-스토크스 방정식을 유도한다.
• 필터링된 평형 분포를 거듭제곱 법칙 항으로 근사함으로써, 분수계수 순서의 하위격자 스케일 응력 모델을 도출한다.
• SGS 응력의 발산을 단일 매개변수 분수계수 라플라시안 $(-\Delta)^{\alpha}$ 로 표현하며, 여기서 $\alpha \in (0,1]$ 이다.
• 이론적 및 渐近적 분석을 통해 모델 매개변수 $\alpha$ 를 필터 너비와 레이놀즈 수의 함수로 설정한다.
• 테일러 전개와 주요값 적분을 사용하여 분수계수 응력 발산의 비국소적 적분 형태를 유도한다.
• 고레이놀즈 수 및 중간 레이놀즈 수에서의 동일한 흐름에 대한 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터를 활용하여 비모의 테스트에 모델을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비-스테이블 통계에 기반한 분수계수 모델이 난류에서 비가우시안성, 간헐성, 비국소성 특성을 더 잘 포착할 수 있는가?
• RQ2 왜 필터링된 볼츠만 방정식과 레비-스테이블 평형 분포의 선택이 분수계수 라플라시안 연산자 $(-\Delta)^{\alpha}$ 를 도출하는가?
• RQ3 분수계수 지수 $\alpha$ 는 필터 너비와 레이놀즈 수와 같은 물리적 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 비모의 테스트에서 제안된 분수계수 SGS 모델은 고전적 모델 대비 예측 성능에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 분수계수 모델의 비국소적 구조는 프레임 불변성과 열역학 제2법칙과 같은 기본 물리 원리를 유지하는가?

주요 결과

• 분수계수 SGS 모델은 필터링된 속도장의 분수계수 라플라시안 $(-\Delta)^{\alpha}$ 로 하위격자 스케일 응력의 발산을 표현하며, 여기서 $\alpha \in (0,1]$ 이다.
• 모델 매개변수 $\alpha$ 는 필터 너비와 레이놀즈 수에 엄격히 의존하며, 물리적 척도 관계를 나타낸다.
• 대규모 거리에서의 평형 분포 함수는 두꺼운 尾部를 보이며, 이는 레비-스테이블 통계와 비가우시안 간헐성과 일치한다.
• 분포의 渐近적 형태는 거듭제곱 법칙 감쇠 $\sim \bar{\Delta}^{-\alpha + d/2}$ 를 보이며, 이는 분수계수 연산자의 사용을 정당화한다.
• 비모의 분석 결과, 분수계수 모델은 고전적 모델 대비 하위격자 에너지 전이의 더 높은 예측 성능을 제공함을 보여준다.
• 유도된 응력 발산의 적분 형태는 비국소적 적분의 주요값과 일치하며, 물리적 일관성과 프레임 불변성을 유지한다.