[論文レビュー] Derived Algebraic Geometry

Bertrand Toën|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 82被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、非横断的交差や非自由な群作用といった幾何的病理を、ホモトピー的データを符号化する導来スキームに古典的スキームを置き換えることで解消する枠組みとして、導来代数幾何学を導入する。高次ホッホシュライブコhomologyを通じて、ずらしポisson構造と変形量子化の間の対応を確立し、代数幾何学および数理物理における量子化の導来幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

This text is a survey of derived algebraic geometry. It covers a variety of general notions and results from the subject with a view on the recent developments at the interface with deformation quantization.

研究の動機と目的

• 病理的交差や商を、内在的なホモトピー的構造を持つ幾何的対象として扱う導来幾何の枠組みを構築すること。
• ナードな交差を、多重度と次元欠損を符号化する導来交差に置き換えることで、古典的交差理論を一般化すること。
• 高次ホッホシュライブコhomologyとずらしポアソン構造を用いた導来幾何的解釈を通じて、変形量子化を確立すること。
• $\infty$-圏と導来スタックの言語を通じて、代数幾何学、変形理論、数理物理の概念を統一すること。
• 特に次元3以上において、シンプレクティックおよびポアソン構造の量子化の基盤を提供すること。

提案手法

• $\infty$-圏と導来代数幾何学を用いて、$E_\infty$-環値の構造層を持つ$\infty$-群コホモロジーとして導来スキームを形式化する。
• 導来交差を、$\alpha$が$y \in Y$から$z \in Z$へのホモトピーである三重組$(y, z, \alpha)$の群コホモロジーとして導入し、横断性の欠損を符号化する。
• 形式的モジュライ問題と導来スタックを用いて、$gx$と$x$の間の経路を通じてホモトピー的商として商スタックを記述する。
• 導来層の自己同型の変形を制御するグローバル不変量として、高次ホッホシュライブコhomology $\mathit{H\!H}^{E_{n+1}}(X)$ を用いる。
• 導来ループ空間 $\mathcal{L}^{(n)}(X) = \mathbb{R}\mathbf{Map}(S^n, X)$ を用いて、ずらしポアソン構造とその量子化を定義する。
• 高次代数と変形理論の予想的および証明済み結果（特にコンツェビッチの形式性定理とタマリンの導来スタックへの拡張）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来代数幾何学は、点の間の経路などのホモトピー的データを用いて、代数幾何学における非横断的交差に幾何的構造を付与することで、どのように解消できるか？
• RQ2 ホモトピー的データ（例：点間の経路）は、古典的商や交差をどのように精緻化するか？
• RQ3 導来スタック上のずらしポアソン構造は、変形量子化とどのように関係するか？
• RQ4 高次ホッホシュライブコhomology $\mathit{H\!H}^{E_{n+1}}(X)$ は、$n$-ずらしポアソン構造の変形量子化を制御するために果たす正確な役割は何か？
• RQ5 導来ループ空間およびそのコホモロジー不変量は、次元3以上における多様体の量子不変量を構成するために使用可能か？

主な発見

• 導来交差は、点の間の経路などのホモトピー的データを通じて、多重度と次元欠損を符号化する幾何的対象である。
• 導来商 $X/G$ は、$x$ と $gx$ がホモトピーで結ばれるスタックとして実現され、古典的商スタック構成を一般化する。
• 予想5.8は、導来スタック $X$ 上の$n$-ずらしポアソン構造が、$k[-1] \to \mathit{H\!H}^{E_{n+1}}(X)[n+1]$ のような写像に対応することを示唆しており、これは変形量子化を制御する。
• $n > 0$ の場合、有限性条件の下でこの予想は証明され、$n = 0$ の場合、$X$ が滑らかなデリーニ＝ムーディスタックであればコンツェビッチの形式性定理から従う。
• $p \in F_{\mathit{H\!H}^{E_{n+1}}(X)[n+1]}(k[[t]])$ が、導来$\infty$-カテゴリ $L_{\textit{qcoh}}(X)$ の形式的変形を定義し、$n$-ずらしポアソン構造の量子化をもたらす。
• $X = BG$ で $p \in \text{Sym}^2(\mathfrak{g})^G$ のとき、この量子化は$G$と$p$に対応する量子群を回復し、導来幾何学と量子群の間の関係を確立する。