[论文解读] Equilibrium Strategies for Time-Inconsistent Stochastic Switching Systems

Hongwei Mei, Jiongmin Yong|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文针对具有状态依赖性制度切换和递归成本泛函的时变不一致随机切换系统，推导了均衡策略。通过构建多人微分博弈框架，推导出一个均衡汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，在特定条件下证明了其适定性，并为一类具有非指数贴现的随机控制问题建立了时间一致的均衡策略。

ABSTRACT

An optimal control problem is considered for a stochastic differential equation containing a state-dependent regime switching, with a recursive cost functional. Due to the non-exponential discounting in the cost functional, the problem is time-inconsistent in general. Therefore, instead of finding a global optimal control (which is not possible), we look for a time-consistent (approximately) locally optimal equilibrium strategy. Such a strategy can be represented through the solution to a system of partial differential equations, called an equilibrium Hamilton-Jacob-Bellman (HJB, for short) equation which is constructed via a sequence of multi-person differential games. A verification theorem is proved and, under proper conditions, the well-posedness of the equilibrium HJB equation is established as well.

研究动机与目标

• 解决具有非指数贴现的随机切换系统中的时变不一致最优控制问题。
• 在全局最优性因时间不一致而不可达的情况下，开发一种时间一致的均衡策略。
• 通过一系列多人微分博弈，构建一个均衡汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。
• 在控制不影响扩散系数的情况下，建立均衡HJB方程的适定性。
• 提供一个验证定理，并通过一个涉及幂函数效用和制度切换动态的具体例子说明该方法。

提出的方法

• 通过泊松随机测度和由跳跃SDE驱动的制度过程，构建具有状态依赖性制度切换的受控随机微分方程。
• 引入具有非指数贴现的递归成本泛函，导致最优控制问题的时间不一致性。
• 通过将问题建模为一系列多人微分博弈，构建均衡HJB方程，以实现时间一致性。
• 推导一个验证定理，以验证由HJB系统导出的均衡策略的有效性。
• 将该框架应用于一个具体例子，采用涉及幂函数的假设求解均衡HJB系统，该例子包含幂函数效用。
• 在控制不影响扩散系数的特殊情况下，通过确保解的存在性和唯一性，建立均衡HJB方程的适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非指数贴现的随机切换系统中，如何构建时间一致的均衡策略？
• RQ2 具有状态依赖性转移强度的制度切换SDE的均衡HJB方程具有何种结构？
• RQ3 当控制不影响扩散系数时，均衡HJB方程在何种条件下是适定的？
• RQ4 能否在该时变不一致框架下为所导出的均衡策略建立验证定理？
• RQ5 状态依赖性制度切换对解的连续依赖性及由此产生的控制策略有何影响？

主要发现

• 均衡策略被确定为一组偏微分方程（即均衡HJB方程）的解，该方程捕捉了在时变不一致控制问题中的时间一致性行为。
• 通过一系列多人微分博弈构建了均衡HJB方程，为均衡选择提供了严格的理论框架。
• 在扩散系数与控制无关的情况下，建立了均衡HJB方程的适定性，确保了解的存在性和唯一性。
• 证明了验证定理，确认在适当的正则性和增长条件下，所导出的策略满足均衡条件。
• 在涉及幂函数效用的具体例子中，均衡策略被显式计算为 $ \bar{u}(s,x,i) = -\frac{b(i)x}{(1-\gamma)\sigma(i)^2} $ 和消费 $ \bar{c}(s,x,i) = \left(\frac{g(s,s)}{\varphi(s,s,i)}\right)^{1/(1-\gamma)}x $，其中 $ \varphi $ 满足一个常微分方程组。
• 在适当条件下，均衡HJB系统的解被证明是适定的，验证了该方法在实际应用中的可行性。