研究の動機と目的

提案手法

multiplicities 1 から 5 の繰り返し伊藤確率積分の近似に、一般化された多重フーリエ＝レジェンドル級数を用いる。
高次スキームにおける必要な繰り返し積分の数を最小限に抑えるために、統一されたテイラー＝イトウ展開を採用する。
オンライン評価のための効率的な計算を可能にするために、フーリエ＝レジェンドル係数 $\bar{C}_{j_{3}j_{2}j_{1}}$, $\bar{C}_{j_{4}j_{3}j_{2}j_{1}}$, など事前に計算する。
積分区間 $[t,T]$ の分割を回避することで、従来の積分和法と比較して計算コストを低減する。
定理3を適用して、平均二乗近似誤差の正確な表現を導出し、正確な誤差制御を可能にする。
各積分タイプごとに適応的に切捨てレベル $q$ を選択する数値アルゴリズムを用い、精度と効率のバランスを図る。

3次繰り返し積分 $I_{(000)\tau_{p+1},\tau_p}^{(i_1i_2i_3)}$ の平均二乗近似誤差は約 $0.02528010\Delta^5$ である。
4次積分 $I_{(0000)\tau_{p+1},\tau_p}^{(i_1i_2i_3i_4)}$ の誤差は約 $0.02360840\Delta^4$ であり、multiplicityの増加に伴い急激に減少している。
5次積分 $I_{(00000)\tau_{p+1},\tau_p}^{(i_1i_2i_3i_4i_5)}$ の誤差は約 $0.00759105\Delta^5$ であり、高次multiplicityで急速に収束していることが示唆される。
本手法では、各積分タイプに対して独立して切捨てレベル $q$ を選択可能であり、従来の手法が共通の $q$ を必要とするのとは異なり、より高い効率性を実現する。
提案されたアルゴリズムは、区間分割法と比較して著しく低い計算コストで、2.5次強収束を達成する。
事前に計算されたフーリエ＝レジェンドル係数の利用により、積分の高速オンライン評価が可能となり、リアルタイムまたは大規模シミュレーションの実現を支援する。