[논문 리뷰] The Existence of Dominating Local Martingale Measures

Peter Imkeller, Nicolas Perkowski|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 유계인 세미마르팅글 가격 과정에 대해, 제1종 아웃리어 기회가 없는 조건(NA1)이 지배적인 국소 마르팅글 측도의 존재와 동치임을 입증한다. 증명은 비음수 초마르팅글의 Föllmer 측도 구성 기법을 활용하며, 제품 공간에서 넷 기반의 컴팩트성 추론을 통해 비메트릭 공간에서의 볼록 컴팩트성에 기반하여 자산 가격 이론의 기본 정리를 완전하지 않은 필터레이션으로 확장한다.

ABSTRACT

We prove that, for locally bounded processes, absence of arbitrage opportunities of the first kind is equivalent to the existence of a dominating local martingale measure. This is related to and motivated by results from the theory of filtration enlargements.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 유계인 가격 과정을 갖는 연속시간 금융시장에서 제1종 아웃리어 기회가 없는 조건(NA1)을 특성화하는 것.
• 전체 NFLVR 조건이 아닌 NA1에 초점을 맞춰 자산 가격 이론의 기본 정리를 NFLVR 조건을 초월해 확장하는 것.
• 필터레이션이 P-완전하지 않은 경우에도 NA1 하에서 지배적인 국소 마르팅글 측도의 존재를 확립하는 것.
• 비완전한 필터레이션으로의 고전적 결과 확장에 따라, 필터레이션 확장 이론의 결과를 적용하여 측도 이론적 구성의 강건성을 확보하는 것.
• 무한한 이익과 유계된 리스크를 포함하지 않는 시장에서의 가격 설정과 헤징에 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 비음수 초마르팅글과 관련된 Föllmer의 측도를 사용하여 지배적인 국소 마르팅글 측도를 구성하는 것.
• 비메트릭 공간에서의 볼록 컴팩트성 증명을 위해 가산 랜덤 변수 집합의 곱 위상에서 넷 기반의 컴팩트성 추론을 적용하는 것.
• 수렴이 하위망을 따라 이루어지는 볼록 조합을 선택하기 위해 선택 공리를 활용하여 한계 과정의 존재를 보장하는 것.
• 비완전한 필터레이션 프레임워크 내에서 작업하며, 우측연속성과 선택적/예측 가능 시그마 대수를 활용하여 확률적 적분의 유지성을 보장하는 것.
• 하한 리스크가 유계인 전략인 λ-허용 전략의 개념을 활용하여 자산가치 과정을 정의하고 종료 자산가치의 수렴성을 확보하는 것.
• NA1와 1-허용 전략 하에서 종료 자산가치 과정의 확률적 유계성 간의 등가성에 의존하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지배적인 국소 마르팅글 측도의 존재가 제1종 아웃리어 기회가 없는 조건(NA1)을 특성화하는 데 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ2 전체 NFLVR 조건이 아닌, 오직 NA1만 성립하는 설정에서 자산 가격 이론의 기본 정리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 비완전한 필터레이션으로의 Föllmer의 측도 구성이 마르팅글 성질을 유지한 채로 적응 가능한가?
• RQ4 제품 공간에서의 볼록 컴팩트성이 지배 측도 존재성 결과를 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 필터레이션 완성 하에서 선택적 및 예측 가능 과정의 성질는 어떻게 변화하며, 이는 확률적 적분에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 국소적으로 유계인 세미마르팅글 과정에 대해 제1종 아웃리어 기회가 없는 조건(NA1)은 지배적인 국소 마르팅글 측도의 존재와 동치이다.
• 지배 측도의 구성은 비음수 초마르팅글에서 유도된 Föllmer의 측도에 기반하며, 이 측도가 원래 확률 측도에 대해 절대연속임을 보장한다.
• 논문은 1-허용 전략에서의 종료 자산가치 집합이 확률적으로 유계임과 NA1가 동시에 성립하는 것 사이의 등가성을 입증한다. 이는 핵심적인 동치성의 기초가 된다.
• 비완전한 필터레이션에서도, 필터레이션이 우측연속이면 지배적인 국소 마르팅글 측도의 존재는 유지된다.
• 제품 위상에서 수열이 아닌 넷을 사용하는 것이 볼록 컴팩트성 증명에 필수적이며, 이 경우 순차적 컴팩트성만으로는 충분하지 않다.
• 결과적으로 이 논문은 NFLVR 조건을 NA1로 완화함으로써 Delbaen과 Schachermayer의 이전 결과를 일반화하여 자산 가격 이론의 기본 정리의 적용 범위를 넓혔다.