[論文レビュー] A note on the Penon definition of $n$-category

Eugenia Cheng, Michael Makkai|ArXiv.org|Jul 23, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ペノの $n$-カテゴリの定義に欠陥があることを特定する：彼の枠組みにおいて、二重に退化したトライケテゴリーは、対称的モノイダルカテゴリではなく、より広いクラスのブレッドモノイダルカテゴリになるべきである。著者たちは、非反射的グローブラーセットを用いた修正定義を提案し、期待される一般性を回復させ、対称性を強制しないブレッドモノイダルカテゴリを適切に捉えることを保証する。

ABSTRACT

We show that doubly degenerate Penon tricategories give symmetric rather than braided monoidal categories. We prove that Penon tricategories cannot give all tricategories, but we show that a slightly modified version of the definition rectifies the situation. We give the modified definition, using non-reflexive rather than reflexive globular sets, and show that the problem with doubly degenerate tricategories does not arise.

研究の動機と目的

• ペノの $n$-カテゴリの定義が、特に二重に退化したトライケテゴリーの場合に、期待される低次元の例を正しく捉えているかどうかを調査すること。
• 元の定義に根本的な欠陥があることを同定すること：1対象、1射の状況において、一般のブレッドモノイダルカテゴリではなく、対称的モノイダルカテゴリを強制してしまうこと。
• ペノの元のトライケテゴリーが、非対称なブレーディングを持つものも含めてすべてのトライケテゴリーを表現できないことを示すこと。
• 問題を是正し、正しいカテゴリカル構造を回復させるために、非反射的グローブラーセットを用いた修正定義を提示すること。
• 修正定義が、不要な対称性を強制しないブレッドモノイダルカテゴリを正しく捉えていることを示すこと。

提案手法

• モノイダルカテゴリとして表現することで、二重に退化したペノのトライケテゴリーの構造を分析し、誘導されるブレーディングを同定すること。
• 反射的グローブラーセットの枠組みにおいて、恒等射を源・標高とする非恒等2セルが、ブレーディングを対称にするように強制されることを示すこと。
• 対称性を備えられないブレッドモノイダルカテゴリの具体例を構成することで、それがペノの元の定義では捉えられないことを証明すること。
• 恒等射が自由に追加される自由圏構成において、非反射的グローブラーセットに基づく $n$-カテゴリの修正定義を導入すること。
• 非反射的設定において、恒等射の源または標高をもつのは恒等セルに限られることを証明することで、不要な対称性が生じないことを保証すること。
• 修正定義が、非反射的設定において、恒等射の源または標高をもつのは恒等セルに限られることを確認し、ブレーディングが対称に強制されないことを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペノの元の $n$-カテゴリ定義は、二重に退化した場合にブレッドモノイダルカテゴリのクラスを正しく捉えているか？
• RQ2 なぜペノの反射的グローブラーセットによる定義は、一般のブレッドモノイダルカテゴリではなく、対称的モノイダルカテゴリを生じさせるのか？
• RQ3 二重に退化したトライケテゴリーの場合に、対称性を強制しないように修正された $n$-カテゴリの定義を構築できるか？
• RQ4 非反射的グローブラーセットの使用は、ペノの枠組みにおける正しい一般性を回復させるのに十分か？
• RQ5 修正された公理は、すべての望ましいトライケテゴリーの例を含む、整合的な $n$-カテゴリの概念を保ち続けるか？

主な発見

• 二重に退化したペノのトライケテゴリーは、ブレッドモノイダルカテゴリではなく、対称的モノイダルカテゴリを生じることが示された。
• 元のペノの定義は、反射的グローブラーセットが非恒等2セルが恒等射を源・標高にもつことを許容するため、対称性を強制し、すべてのトライケテゴリーを捉えられない。
• 反例が構成された：対称性を備えられないブレッドモノイダルカテゴリであり、したがってペノのトライケテゴリーから生じない。
• 非反射的グローブラーセットを用いた修正定義は、恒等セルにのみ恒等射の源または標高が存在することを保証することで、問題を回避する。
• 非反射的設定において、自由な3カテゴリ構成は、恒等射の源または標高を持つ非恒等セルを生成しないので、ブレーディングが対称に強制されない。
• 修正定義は、二重に退化した場合にブレッドモノイダルカテゴリを正しく捉え、元の定義に存在した問題を解決した。