[論文レビュー] $C^k$-smooth approximations of LUR norms

Petr Hájek, A. Procházka|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$C^k$-Fréchet滑らかであるノルムを備えた任意のWCGバナッハ空間が、同時に$C^1$-Fréchet滑らかで、局所的に一様に回転可能（LUR）であり、有界集合上で$C^k$-Fréchet滑らかなノルムによって一様に近似可能な同値ノルムも備えることを確立している。$X = C([0,\alpha])$の場合、$k = \infty$として同じ結論が成り立ち、座標ごとの滑らかな関数と分割関数を用いた新規な構成により、リノーミング理論における2つの長年の未解決問題が解決された。

ABSTRACT

Let $X$ be a WCG Banach space admitting a $C^k$-Fr\' echet smooth norm. Then $X$ admits an equivalent norm which is simultaneously $C^1$-Fr\' echet smooth, LUR, and a uniform limit of $C^k$-Fr\' echet smooth norms. If $X=C([0,α])$, where $α$ is an ordinal, then the same conclusion holds true with $k=\infty$.

研究の動機と目的

• WCGバナッハ空間が$C^k$-Fréchet滑らかなノルムを備える場合、それが同時に$C^1$-Fréchet滑らかで、有界集合上で$C^k$-滑らかなノルムによって一様に近似可能なLURノルムを備えるかどうかという未解決問題を解消すること。
• この結果を空間$C([0,\alpha])$に拡張し、$C^\infty$-滑らかでLURかつ有界集合上で$C^k$-滑らかなノルムによって一様に近似可能なノルムの存在を示すこと。
• 座標ごとの滑らかな関数と分割関数を用いた構成的手法を提供すること。
• $C([0,\omega_1])$のような双対LURノルムを備えない空間において、$C^1$-滑らかでLURなノルムが共存可能であることを示すこと。

提案手法

• インデックス集合$\Gamma$の有限部分集合への射影に基づく、座標ごとの滑らかな切り捨て関数と分割関数を用いて、$C^k$-滑らかな関数$J_{i,n,m,i}$の列を構成する。
• 関数$\tilde{J}_i$の平方和の下位集合に関連するミンコフスキー汎関数$J_i$を定義し、陰関数定理により$J_i$が$C^k$-滑らかであることを保証する。
• 有界集合上で局所化されたノルムの挙動を保証するため、$\delta_n$に依存する関数$\xi_{\delta_n}$の族を用いる。
• 中間関数$H_{n,m}x$の収束を制御し、摂動に対して安定であることを保証するために、補題5.6および補題5.3を適用する。
• 重み$\frac{1}{2^{j+n+m}}$が$\ell^1$-summableであることを用いた推計により、$\tilde{J}_i$が開単位球上で$\tilde{J}$に一様収束することを確立する。
• ノルム比$\lambda_i = d_i/c_i$を用いた背理法により、$J_i \to J$が$X$の有界部分集合上で一様収束することを証明し、推計$|\lambda - 1| \leq 2|\tilde{J}(\lambda x) - 1/2|$を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$C^k$-Fréchet滑らかなノルムを備えたWCGバナッハ空間は、同時に$C^1$-Fréchet滑らかでLURであり、かつ有界集合上で$C^k$-滑らかなノルムによって一様に近似可能な同値ノルムにリノーミング可能か？
• RQ2 $C([0,\alpha])$空間は、任意の順序数$\alpha$に対して、$C^\infty$-滑らかでLURであり、かつ$C^k$-滑らかなノルムによって一様に近似可能なノルムを備えるか？
• RQ3 双対LURリノーミングが存在しない空間、例えば$C([0,\omega_1])$において、$C^1$-Fréchet滑らかでLURなノルムを同時に備えたノルムを構成することは可能か？
• RQ4 強い回転性と滑らかさを同時に保ちながら、ノルムを$C^k$-滑らかなノルムによって一様に近似することは可能か？
• RQ5 $C([0,\alpha])$上での同値ノルムの空間において、$C^1$-滑らかでLURなノルムは稠密または残渣的か？

主な発見

• 任意の$C^k$-Fréchet滑らかなノルムを備えたWCGバナッハ空間は、同時に$C^1$-Fréchet滑らかで、局所的に一様に回転可能（LUR）であり、かつ有界集合上で$C^k$-Fréchet滑らかなノルムによって一様に近似可能な同値ノルムを備える。
• $X = C([0,\alpha])$の場合、$k = \infty$として同じ結論が成り立ち、リノーミングが$C^\infty$-滑らかで、有界集合上で$C^k$-滑らかなノルムによって一様に近似可能である。
• 構成されたノルム$J$は、有界集合上で$C^k$-Fréchet滑らかなノルム$J_i$の一様極限であり、$J_i \to J$は$X$の有界部分集合上で一様収束する。
• 双対LURノルムに依存しない構成法により、$C([0,\omega_1])$のような双対LURリノーミングが存在しない空間においても、$C^1$-滑らかでLURなノルムが存在可能である。
• 陰関数定理により、すべての$i$に対して$J_i$が$C^k$-滑らかであることが保証され、有限個の$C^k$-滑らかな関数の和$\tilde{J}_i$も$C^k$-滑らかである。
• 推計により、$\ell^1$-summableな重みと$|J_{j,n,m,i}^2(x) - J_{j,n,m}^2(x)|$の差分の推計を用いて、$\tilde{J}_i$が開単位球上で$\tilde{J}$に一様収束することを証明した。