[論文レビュー] Closed String TCFT for Hermitian Calabi-Yau Elliptic Spaces

Kevin J. Costello, Thomas Tradler+1 more|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ヘルミート計量を幾何的入力として用い、リーマン面のモジュライ空間のチェインが、ケーライ・ヤウ楕円的空間のホッホシュィルト複体上に明示的かつ幾何的に作用することを構成する。これは、すべての genus におけるストリングトポロジーおよび B モデル作用素のチェインレベルでの精密化を提供する。主な貢献は、セガールのプロップ $\mathcal{S}$ に quasi-isomorphic なメタグラフのプロップ $MG$ 上のラックス代数構造であり、ホッホシュィルトホモロジーにホモロジー的場理論作用素を定義する。この構成は、計量に依存する幾何的構成に基づき、ホモトピー的不変性を満たし、Kontsevich-Soibelman や Costello の代数的構成と同値である。

ABSTRACT

We describe an explicit action of the prop of the chains on the moduli space of Riemann surfaces on the Hochschild complex of a Calabi-Yau elliptic space. One example of such an elliptic space extends the known string topology operations, for all compact simply-connected manifolds, to a collection indexed by the de Rham currents on the moduli space. Another example pertains to the B-model at all genera.

研究の動機と目的

• ケーライ・ヤウ楕円的空間に対して、微分形式のコホロロジーへの置き換えを避ける、純粋に代数的ホモロジー代数を用いない幾何的で非代数的な方法で、閉 TCFT を構成すること。
• ヘルミート計量を幾何的入力として用い、リーマン面のモジュライ空間のチェインがケーライ・ヤウ楕円的空間のホッホシュィルト複体上に明示的かつ幾何的に作用することを提供すること。
• この構成が、既知のストリングトポロジー作用素を全モジュライ空間にまで拡張するホッホシュィルトホモロジー上の作用素を生み出すこと、かつチェインレベルでそれが成立することを示すこと。
• 幾何的構成と、Kontsevich-Soibelman や Costello の代数的構成との直接的な関係を確立し、ホモトピー同値性を証明すること。

提案手法

• セガールのプロップ $\mathcal{S}$ に弱同値であるプロップ $MG$（メタグラフのプロップ）を導入し、ホッホシュィルトチェイン複体のモデルへの作用を定義する。
• $C_*(MG)$ 上のラックス代数を構成し、微分、合成、テンソル積と整合する構造写像 $C_*(MG(n,m)) \otimes L_*(\mathcal{A})[n] \to L_*(\mathcal{A})[m]$ を定義する。
• ヒートカーネルと計量付きリボングラフ上の微分形式を用い、リーマン面のモジュライ空間のためのピecewise linear モデルを構築する。
• ホモロジー的摂動補題を適用し、ケーライ・ヤウ楕円的空間を有限次元の循環的 $A_\infty$ 代数に変換し、TCFT 構成を可能にする。
• ポincare モデルと時間ゼロにおけるヒートカーネルを介して、幾何的構成と代数的構成の間の zig-zag の quasi-isomorphism を確立する。
• スペクトル系列の議論を用いて、幾何的構成と代数的構成がホモロジーのレベルで quasi-isomorphic であることを示し、同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーライ・ヤウ楕円的空間に対して、純粋に代数的ホモロジー代数ではなく、微分幾何的入力（例えばヘルミート計量）を用いた幾何的で閉 TCFT を構成できるか？
• RQ2 提案された構成が、全リーマン面のモジュライ空間にまで拡張されたストリングトポロジー作用素をホッホシュィルトホモロジーに生み出すか？
• RQ3 より幾何的に明示的であるにもかかわらず、Kontsevich-Soibelman や Costello の代数的構成と同値である、モジュライ空間チェインの幾何的作用は、同値であるか？
• RQ4 この構成は高 genus の B モデルに適用可能か？ また、その際、分割関数がモジュライ空間の基本チェインに沿った積分として回復されるか？
• RQ5 この構成は、ヘルミート計量の選択に依存しないホモトピー的不変性を満たすか？ すなわち、幾何的不変性が保たれるか？

主な発見

• 本稿は、セガールのプロップ $\mathcal{S}$ に弱同値であるメタグラフのプロップ $MG$ のチェイン複体上にラックス代数を構成し、ケーライ・ヤウ楕円的空間のホッホシュィルト複体のモデルに作用する。
• 得られた構造は、ホッホシュィルトホモロジーにホモロジー的場理論を誘導し、写像 $H_*(\mathcal{S}(n,m)) \to \text{Hom}(HH_*(\mathcal{A},\mathcal{A})^{\otimes n}, HH_*(\mathcal{A},\mathcal{A})^{\otimes m})$ を持つ。
• 単連結で、閉じており、向き付け可能な多様体 $M$ の de Rham 複体に対して、この構成は、全リーマン面のモジュライ空間のホモロジーにインデックスされたストリングトポロジー作用素を回復する。
• この構成は、ヘルミート計量の選択に依存しないホモトピー的不変性を満たし、幾何的不変性を保証する。
• この作用素は、畳み込みリボングラフ $\tilde{\gamma}$ からのストリングトポロジー作用素と可換であり、$H_*(L_*(\Omega^*M)[n])$ と $H^*(\mathcal{L}M)^{\otimes n}$ を含む可換図式によって示される。
• ケーライ・ヤウ多様体 $X$ の B モデルに対して、この構成は、ホッジコホモロジー $H^{-\ast}(X, \Omega^\ast(X))$ 上にモジュライ空間チェインの明示的作用を定義する。これは、拡張された変形空間 $\oplus H^i(X, \wedge^j TX)$ の双対空間に同型であり、分割関数がモジュライ空間の基本チェインに沿った積分として幾何的に実現される。