[論文レビュー] On the Everett programme and the Born rule

P. Van Esch|ArXiv.org|May 9, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、エヴェレット解釈におけるユニタリ量子理論のみからボルン則を導出することはできないと主張している。その理由は、そうした導出が、射影公理と論理的に同値な追加の公理を必要とすることにある。著者は、代替射影公理（APP）を備えた一貫した代替量子理論（AQT）を構築することで、標準的なボルン則が論理的に必然ではないことを示し、射影公理がユニタリティから独立していることを実証した。これは、ユークリッドの第五公理が他の公理から独立しているのと同様の関係である。

ABSTRACT

Proponents of the Everett interpretation of Quantum Theory have made efforts to show that to an observer in a branch, everything happens as if the projection postulate were true without postulating it. In this paper, we will indicate that it is only possible to deduce this rule if one introduces another postulate that is logically equivalent to introducing the projection postulate as an extra assumption. We do this by examining the consequences of changing the projection postulate into an alternative one, while keeping the unitary part of quantum theory, and indicate that this is a consistent (although strange) physical theory.

研究の動機と目的

• エヴェレット解釈において、ユニタリ量子理論のみからボルン則を導出できるかどうかを調査すること。
• 射影公理を排除できるという主張に反論し、そのようなすべての導出が、それと論理的に同値な仮定に依存していることを示すこと。
• 標準的な射影公理を代替射影公理（APP）に置き換えた一貫した代替量子理論（AQT）を構築し、ユニタリな時間発展を再現するが、異なる確率則をもたらすようにすること。
• 射影公理がユニタリティから独立していることの類似性を、幾何学の公理系におけるユークリッドの第五公理が他の公理から独立していることと比較して示すこと。
• ボルン則の主要な証明（デューリッヒの証明やグレーソンの証明）が、なぜ射影公理と論理的に同値な仮定に暗黙のうちに依存しているかを明確にすること。

提案手法

• 有限個の可換射影子からなる集合において、非ゼロ射影子それぞれに確率 1/nψ を割り当てる代替射影公理（APP）を提示する。ここで nψ はそのような射影子の数である。
• AQT を、標準的な量子理論における標準射影公理を APP に置き換えた理論として定義し、ユニタリ時間発展を保存するようにする。
• AQT の結果を分析し、非文脈的確率行動や、異なる測定分解能における結果確率の保存の欠如といった特徴を明らかにする。
• AQT において、粗い測定観測量 X を測定する場合、より細かい観測量 Y も同時に測定するかどうかによって、X の測定確率が異なることが示され、文脈性の欠如が破られる。
• AQT を標準量子理論（SQT）と比較することで、AQT が奇妙な予測（例えば、相関のない測定、情報依存確率）をもたらすが、論理的には一貫しているが、実験的に誤りであることを強調する。
• AQT を用いて、デューリッヒとグレーソンの証明における隠れた仮定を暴露し、彼らの「妥当な」仮定が射影公理と論理的に同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エヴェレット解釈において、追加の公理なしにユニタリ量子理論のみからボルン則を導出できるか？
• RQ2 量子理論における射影公理は、ユニタリ時間発展の公理から論理的に独立しているか？
• RQ3 非ゼロ射影子に等確率を割り当てる代替公理に置き換えた場合の、物理的および数学的結果は何か？
• RQ4 デューリッヒとグレーソンのボルン則証明における仮定は、射影公理とどのように関係しているか？
• RQ5 異なる確率則を持つ一貫した代替量子理論（AQT）が存在することは、標準的なボルン則がユニタリティから単独で導出できないことを示唆するか？

主な発見

• 代替射影公理（APP）は、有限個の可換射影子の集合において、非ゼロ射影子それぞれに確率 1/nψ を割り当てる。ここで nψ はそのような射影子の数である。
• AQT は、ユニタリ時間発展を再現するが、標準量子理論とは異なる確率則をもつ一貫した物理理論である。
• AQT においては、特定の結果を測定する確率が測定分解能に依存する。つまり、観測量 X を単独で測定する場合と、より細かい観測量 Y も同時に測定する場合で、X の確率が異なる。
• この理論は文脈性を破る。X の値を測定する確率は、X と可換な Y を同時に測定するかどうかに依存するが、X と Y が可換であっても成立する。
• デューリッヒのボルン則証明は、非一対一関数における報酬の等価性に依存しており、これは暗黙のうちに非文脈性を仮定している。その結果、AQT は排除され、彼の「妥当な」仮定が射影公理と論理的に同値であることが示される。
• AQT の存在は、射影公理がユニタリ量子理論から単独で導出できないことを証明しており、これはユークリッドの第五公理が他の公理から独立しているのと同様の関係にある。