[論文レビュー] Higher geometric prequantum theory

Domenico Fiorenza, Christopher L. Rogers+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、高次主接続（高次gerbeと接続を伴うもの）を用いた予量子化の形式化により、幾何的予量子理論を高次幾何に拡張する。高次ゲージ群コホロジーとコーエン群コホロジーの標準的なタワーを構成し、アティヤの系列がハミルトニアンシンプレクティズムの高次版を高次量子化群によって拡張するインfinity群の拡張として特定する。また、局所的観測可能量の高次ポアソン括弧が、n-プレクティック幾何を一般化するL-infinity代数の拡張として生じることを示し、拡張量子場理論および弦幾何への応用を可能にする。

ABSTRACT

We develop the refinement of geometric prequantum theory to higher geometry (higher stacks), where a prequantization is given by a higher principal connection (a higher gerbe with connection). We show fairly generally how there is canonically a tower of higher gauge groupoids and Courant groupoids assigned to a higher prequantization, and establish the corresponding Atiyah sequence as an integrated Kostant-Souriau infinity-group extensions of higher Hamiltonian symplectomorphisms by higher quantomorphisms. We also exhibit the infinity-group cocycle which classifies this extension and discuss how its restrictions along Hamiltonian infinity-actions yield higher Heisenberg cocycles. In the special case of higher differential geometry over smooth manifolds we find the L-infinity-algebra extension of Hamiltonian vector fields which is the higher Poisson bracket of local observables and show that it is equivalent to the construction proposed by the second author in n-plectic geometry. Finally we indicate a list of examples of applications of higher prequantum theory in the extended geometric quantization of local quantum field theories and specifically in string geometry.

研究の動機と目的

• 通常のバンドルから高次幾何的構造（高次スタックや高次gerbeなど）への幾何的予量子理論の一般化を図ること。
• 高次予量子化に関連する高次ゲージ群コホロジーとコーエン群コホロジーの標準的タワーを確立すること。
• アティヤの系列が、高次ハミルトニアンシンプレクティズムを高次量子化群によって拡張するインfinity群の拡張として特定されること。
• この拡張をインfinity群コycleによって分類し、ハミルトニアンインfinity作用の下で高次ヘイゼンベルクコycleを導出すること。
• n-プレクティック幾何におけるハミルトニアンベクトル場のL-infinity代数の拡張を、局所的観測可能量の高次ポアソン括弧として回復・一般化すること。

提案手法

• 高次スタック上の高次主接続を用いて高次幾何における予量子化を形式化し、線束を高次gerbeと接続へ一般化する。
• 高次予量子化データから高次ゲージ群コホロジーとコーエン群コホロジーのタワーを構成し、古典的幾何的量子化構造を拡張する。
• アティヤの系列が、統合されたコスタント＝スールォーインfinity群の拡張として特定され、高次ハミルトニアンシンプレクティズムと高次量子化群を結びつける。
• この拡張を分類するインfinity群コycleを導出し、ハミルトニアンインfinity作用に沿った制限が高次ヘイゼンベルクコycleを与えることを示す。
• n-プレクティック設定におけるハミルトニアンベクトル場のL-infinity代数の拡張を、局所的観測可能量の高次ポアソン括弧として再構成する。
• この枠組みを局所的量子場理論における拡張幾何的量子化および弦幾何に応用し、物理的関連性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的予量子理論を、高次スタックや高次gerbeといった高次幾何的構造へ体系的にどのように拡張できるか。
• RQ2 高次予量子化に関連する高次ゲージ群コホロジーとコーエン群コホロジーの標準的高次構造は何か。
• RQ3 高次シンプレクティック幾何の文脈においてアティヤの系列はどのように一般化され、何を分類するのか。
• RQ4 インfinity群コycleは、高次ハミルトニアンシンプレクティズムを高次量子化群によって拡張する際に果たす役割は何か。
• RQ5 高次ヘイゼンベルクコycleはハミルトニアンインfinity作用からどのように生じるのか。また、その量子化プロセスにおける意義は何か。

主な発見

• 任意の高次予量子化から高次gerbeと接続を介して、高次ゲージ群コホロジーとコーエン群コホロジーの標準的タワーが構成される。
• アティヤの系列が、高次ハミルトニアンシンプレクティズムを高次量子化群によって拡張するインfinity群の拡張として特定され、古典的コスタント＝スールォー構成を一般化する。
• 高次シンプレクティズムを高次量子化群によって拡張するのを分類するインfinity群コycleが明示的に同定される。
• このコycleのハミルトニアンインfinity作用に沿った制限は、高次ヘイゼンベルクコycleを与える。これは古典的ヘイゼンベルク群の拡張を一般化する。
• ハミルトニアンベクトル場のL-infinity代数の拡張が、n-プレクティック幾何における局所的観測可能量の高次ポアソン括弧と等価であることが示される。
• この枠組みは、局所的量子場理論における拡張幾何的量子化の基盤を提供し、弦幾何への応用も可能にする。